2018年中国石油大学(北京)理学院662量子力学考研核心题库
● 摘要
一、填空题
1． 波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的_____和在该点扰到粒子的_____成正比。 【答案】强度；几率
2． 在量子力学原理中. 体系的量子态用希尔伯特空间中的_____来描述. 而力学量用_____描述. 力学量算符必为_____算符，以保证其_____为实数.
【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）；厄米；本征值
【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵. 力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实.
3． —粒子的波函数为【答案】
写出粒子位于间的几率的表达式_____。
4． 称_____等固有性质_____的微观粒子为全同粒子。
【答案】质量；电荷；自旋；完全相同
5． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换
6． —个电子运动的旋量波函数为
则表示电子自旋向上、位置在处
的整数倍；对称变换
的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】
二、证明题
7． 设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，【答案】设束缚定态为
即有：
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因A 不显含时间t , 所以
8． 试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：
（其中
为幺正变换，则:
）
可见，本征值不变。
因而有：
三、计算题
9． 若是电子的自旋算符，求： （1）（2）【答案】⑴或者：
（2）
10．简述能量的测不准关系。
【答案】能量测不准关系的数学表示式为
即微观粒子的能量与时间不可能同时进行
准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。
11．平面转子的转动惯量为I ，设绕z 轴转动，受到的微扰作用，求体系激发定态能量的一级近似。
【答案】受到微扰之前，系统波函数为对于所有激发态能级，其简并度为二.
设容易得到
对应零级近似波函数为
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对应能量为
则
于是有方程
再由久期方程
解得:
故体系激发态定态能量的一级近似为：
即能级简并消失了，每个激发态能级都分裂成了两个能级。
12．已知分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，的共同本征态为相应的本征值。 【答案】
证明
是
的本征态，并就
为电子的总角动量。（）
两种情况分别求出其
13．设限制在边长为L 的立方体中的单粒子的本征能量与本征波函数是已知的，其中基态是非简并的，而第一激发态与第二激发态都是3重简并的. 具体而言，基态的本征能量与轨道波函数分别为
第1激发态的本征能量与轨道波函数分别为
第2激发态的本征能量与轨道波函数分别为且前三个单粒子能级是等间隔的.
设由4个上述单粒子构成的全同粒子体系，限制在边长为L 的立方体中. 计算体系的较低的2个本征能量及相应的简并度.
【答案】题中并未给出粒子是费米子还是玻色子，故分两种情况讨论： 由题意可知
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