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一、填空题

1．

为氢原子的波函数（不考虑自旋），

分别称为_____量子

数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。

【答案】主；角；磁；

2． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性

3． —粒子的波函数为【答案】

写出粒子位于间的几率的表达式_____。

4． 不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。 【答案】波粒二象性

二、选择题

5． 如两力学量算符【答案】0

6． （1）

_____；（2）

_____。

有共同本征函数完全系，则它们满足对易关系为

_____。

【答案】

7． 光子和电子的波长都为5.0埃，光子的动量与电子的动量之比是多少？（ ） A.1 B. C. D. 【答案】A

【解析】由德布罗意波长公式

波长相同则二者动量大小必定相同，因此答案选A.

8． 量子力学中的力学量用_____算符表示，表示力学量的算符有组成_____的本征函数。 【答案】厄密；完全系

三、简答题

9． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。

【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在

用算符的本征函数

展开

态中测量粒子的力学量^

得到结果为

的几率是

得到结果在

范围内的几率

为

10．有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。 【答案】不同意。因为

为实函数，但

可以为复函数。

四、计算题

11．氢原子处在基态（1）r 的平均值； （2）动能的平均值； （3）动量的概率分布函数. 【提示：

【答案】（1） r 的平均值即

5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级

和简并度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题 （2）由维里定理

（为势能关于r 的幂次）有动能平均值

其中玻尔半径

】

求：

而氢原子基态能量为

故

5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并

度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并度，与三维各向同性谐振子比较.

12．设有三个自旋算符组成的系统，其哈密顿量为（1）给出系统的力学量完全集； （2）求解能级；

试

（3）给出每一个能级的简并度. 为书写简单计，可令约化普朗克常数【答案】哈密顿量为

其中

能量与无关，可由

时，能量为

时，能量为

时，能量为

当

故系统的力学量完全集为完全确定

. .

可取值个数确定，则

完全确定时，能级简并度将仅由

可取值的个数为2, 故简并度为

2.

可取值个数为2，故简并度为

2. 可取值个数为4，故简并度为4.

13．设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为（1）求很长时间后已知，基态

电子跃迁到激发态的概率.

（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零? 简述理由

.

【答案】（1）根据跃迁几率公式

其中

可知，必须先求得

其中 T 为常数。

已知，a 基态其中为玻耳半径.

根据题意知，氢原子在t>0时所受微扰为：氢原子初态波函数为：