2018年中国石油大学(北京)理学院662量子力学考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、填空题
1 用球坐标表示，．粒子波函数表为【答案】
写出粒子在球壳
中被测到的几率_____。
2． 玻恩关于波函数统计解释的基本论点是_____。
【答案】物质的本源是粒子；波动性是指微观粒子处于某一物理量值的统计几率
3． 粒子在一维势阱中运动，波函数为则的跃变条件为_____
。若势阱改为势垒
则
【答案】 4．
表示_____，几率流密度表示为_____。
写出粒子位于
间的几率的表达式_____。
的跃变条件为_____。
【答案】几率密度；
5． —粒子的波函数为【答案】
6． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。 【答案】
二、证明题
7． 粒子自旋处于
的本征态
【答案】易知但是
（常数），
同理，可得
因此：
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试证明的不确定关系
：
所以有：
8． 设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为
【答案】设在
或
证明这一点。
表象中，这自旋态的表示为：
则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：
根据题给条件，有：
由此得：即：
或
要么自旋朝下
和
即都为自旋分量的本征态。在
这就意味着，此态要么是自旋朝上
这两个本征态中，
测量自旋分量的平无值分别为
三、计算题
9． 考虑一自旋量于救s=l的粒子，忽略空间自由度，并假定粒子处在外磁场的单位矢量），粒子的哈米顿算符为（1）若虬
同本征矢
（2）如果初始时刻t=0粒子的态为（3）发现粒子处在【答案】（1）由于
求在t ＞0后粒子的态？
为基，求自旋算符S 的矩阵表示.
中（为x 轴
态的概率是多少?
故
由于哈密顿量为（2）由定态方程
则能量本征态对应于
解得
本征态.
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而故t ＞0后粒子的态为
（3）由于
故所求概率为
10．在自旋向上的状态中，测量有哪些可能的值？这些可能的值各以多大的几率出现？ &的平均值是多少？
【答案】（1）自旋角动量在空间任意方向在表象，的矩阵元为：
的投影为：
其相应的久期方程为：即：利用解得：
的本征函数的矩阵表示为
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可得：
所以，的本征值为（2）设对应于
则：