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一、综合题（计算、解答、证明）

1． 如果取样频率为间的频率，阻带衰减至少为【答案】设计步骤如下：

第一步：根据题意先设计相应的低通滤波器：

转换成数字频率：

截止频率：

转换成数字频率：

所以有：

由于阻带衰减至少70dB , 可选择布莱克曼窗：

窗函数为：

因此低通滤波器冲激响应为：

希望N 为奇数，因此取

用低通滤波器和高通滤波器设计带通滤波器，要求通过7到

过渡带宽度不能超过

之

第二步：根据题意设计相应的高通滤波器： 截止频率：

转换成数字频率：

所以有：

所要设计的带通滤波器为：

代入表达式即得结果。

2． 设x （n ）和y （n ）分别表示一个内插器的输入和输出序列，它们之间的关系可以表示为

试证明这个内插器是一个线性时变系统。 【答案】设

和

是两个任意的序列，a 和b 是两个任意常数。

①

而

②

由于①式和②式有相同的结果，所以这个系统是线性的。 又，将输入序列

先移位再插零，得到

而如果将x （n ）先插零，得到

再移位，得到

由于

故该系统是时变的。

3． 某因果线性非移变离散系统的方框图如图所示，其中D 表示单位延时器。 （1）求系统函数（2）根据（4）已知激励

并写出系统的差分方程；

求系统的零输入响应

求系统的零状态响应

求系统的单位函数响应

（3）已知系统的初始储能为

图

【答案】（1）围绕系统框图的相加器列方程，得到系统函数为：

差分方程为：

（2）由1可知：

化简得：

取其逆变换得：

（3）对差分方程两边取单边z 变换得：

整理得：