2017年哈尔滨工业大学深圳研究生院831高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 大炮以仰角α，初速度v 0发射炮弹，若不计空气阻力求弹道曲线。
【答案】取炮口在原点，炮弹前进的水平方向为2轴，铅直向上为Y 轴，设在时刻t ，炮弹位于
按题意有
且
解方程（1），
得
即
故弹道曲线为
代入初始条
件
解方程（2）,
得
得C 4=0，C 3=v0cos α，
即
得
代入初始条
件
2． 推导余切函数及余割函数的导数公式:
【答案】
。
3． 落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大率总是6m/s，问在2s 末扰动水面面积的增大率为多少?
【答案】设最外一圈波的半径为r=r（t ）。圆的面积S=S（t ）。在S=πr 两端分别对t 求导，得
当t=2时，
代入上式得
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2
4． 设f （x ）的定义域D=[0，l]，求下列各函数的定义域:
（l ）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）
当
时，
，当
时，定义域为。
的导数。
。
5． 设函数f （x ）和g （x ）可导，且
【答案】
，试求函数
6． 设圆柱形浮筒，直径为0.5m ，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s ，求浮筒的质量.
【答案】设x 轴的正向铅直向下，原点在水面处. 平衡状态下浮筒上一点A 在水平面处，又设，此时它受到的恢复力的大小为在时刻t ，点A 的位置为x=x（t ）恢复力的方向与位移方向相反，故有得
微
分
方
程
解
特
征
方
程
由于振动周期
从中解出
7． 当x 为何值时, 函数
【答案】容易知道I （z ）可导, 而当
时
, 故
有极值。
只有惟一解x=0。当
时,
,
，（R 是浮筒的半径）
则故
故
即
得
，其中m 是浮筒的质量。记
为函数I （x ）的惟一的极值点（极小值点）。
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8． 当正在高度H 飞行的飞机开始向机场跑道下降时，如图所示，从飞机到机场的水平地面距离为L 。假设飞机下降的路径为三次函数的图形，其中
确定飞机的降落路径。
【答案】设立坐标系如图所示。根据题意，可知
为使飞机平稳降落，尚需满足
解得
故飞机的降落路径为
9． 改换下列二次积分的积分次序:
【答案】（l ）所给二次积分等于二重积
分
，。
D 可改写为
（图1）
，于是
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试
其
中