2017年中国人民大学信息学院828高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知，有
于是
2． 设线性方程组
的解都是线性方程组的解，则（ ）。
【答案】（C ） 【解析】设的解空间分别为
则
所以
即证秩
3． 若
都是4维列向量，且4阶行列式
【答案】 C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
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4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 设 又 则（ ）• 【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得 即 由②有 为空间的两组基，且 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 二、分析计算题 6． 设 求证： 【答案】用反证法. 如果（x ）有一个不可约因式，设为 于是 第 3 页，共 39 页 都是多项式，而且 则d 根据不可约多项式的性质， 能整 除 中的一个， 设为 中的一个，设 为 因此 除佘 被 除余则存在多项式 令 取 同 理整 除 与假设矛盾. 所 以 7． 求一个次数最低的实系数多项式，使其被 【答案】解法1:由题设，显然所以可以验证， 为求最小次数的 使 即 确实是被除余X+1的多项式. 使 解法2:同解法1，有多项式 于是应有设 则可设 是的倍式， 比较两边同次项系数得 所以 8． 设 是两多项式，且 即为所求. 可被则 整除，则 【答案】设且 又因为 的两个复根为 所以 解之，可得 9． 设A 是反对称矩阵，则 【答案】 同样可证 第 4 页，共 39 页 是正交阵. 故是正交矩阵.