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一、计算题

1． 在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。 【答案】在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为：在动量表象中，该哈密顿算符为：

由于动量的本征函数为

故哈密顿算符的矩阵元为：

2． 已知厄米算符. （1）在A 表象中算符

满足

的矩阵表示。

且求：

（2）在B 表象中算符的本征值和本征函数。 （3）从A 表象到B 表象的么正变换矩阵S 。 【答案】（1）由于所以，

在A 表象中算符的矩阵是

：设在A 表象中算符

的矩阵是由于

所以：

则有：

所以：

则有：

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所以算符的本征值是因为在A 表象中，算符的矩阵是对角矩阵，

利用

得：

由于是厄米算符，

令其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为：

（2）类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：

α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即对

有：

对

有：

所以，在B 表象中算符的本征值是

，本征函数为：

和-（3）类似地，在A 表象中算符的本征值是

则

即

则有：

可得：

本征函数为：

从A 表象到B 表象的么正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即：

3． 自旋为时，粒子处于（2）求出t ＞0时

固有磁矩为

的状态。

的可测值及相应的取值几率。

（其中为实常数）的粒子，处于均匀外磁场

中，设t=0

（1）求出t ＞0时的波函数； 【答案】（1）体系的哈密顿算符为在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为：在t= 0时，粒子处于为了求出

的状态，即

在泡利表象中的具体形式，需要求解满足的本征方程：

解得:于是，有：

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由于，哈密顿算符不显含时间，故/>0时刻的波函数为：

（2）因为

所以是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计

算t=0时的取值几率就知道了t ＞0时的取值几率。 由于

的取值几率为：

因此有：

4． 设已知在，值为

的共同表象中，算符

的矩阵分别为

试在取

故有：

的本征态下求的可能取值和相应的概率及的平均值.

设

的本征态矢为

则由

【答案】可能取得的值有可以解得同理由

为

5． 设

可以解得

概率为

是

（1）计算（2）计算

时态矢为

概率为

态矢

平均值为

方向的单位矢量，在表象中

，

并将结果表示为三个泡利矩阵的线性组合（要求给出组合系数）。 的本征态

试证该态与的方向无关，即由不同得到

（3

）设两电子自旋态为的态最多相差相因子。 【答案】⑴

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