2018年山东大学威海校区829量子力学考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 二电子体系中，
总自旋【答案】（
写出（
）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。 则自旋单态为：
自旋三重态为：
）的归一化本征态记为
2． 平面转子的转动惯量为I ，设绕z 轴转动，受到态能量的一级近似。
【答案】受到微扰之前，系统波函数为对于所有激发态能级，其简并度为二.
设容易得到则
于是有方程
再由久期方程
解得:
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的微扰作用，求体系激发定
对应能量为
对应零级近似波函数为
故体系激发态定态能量的一级近似为：
即能级简并消失了，每个激发态能级都分裂成了两个能级。
3． （1）写出全同粒子体系的态所满足的交换对称性以及随时间演化的动力学方程； （2）考虑由2
个全同费米子（
表示出体系可能的状态。
【答案】（1）全同粒子系的波函数
：随时间演化的动力学方程
：（2）用
对称性波函数
；
反对称性波函数。其
）组成的体系，
设可能的单粒子态为
试用
表示出体系可能的状态如下：
4． 粒子在势场作【
答
案
】
利
中运动，其中
用
波
试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取
函
数
的
归
一
化
公
式
由重新代入
得：
表达式，得：
现在受到微扰
的作用，
微扰矩阵元为
故基态能量的上限为：
5． —体系未受微扰作用时只有三个能级：能量至二级修正。
【答案】至二级修正的能量公式为
和c 都是实数. 用微扰公式求
其中
分别为一级和二级修正能量. n=1时，将m=2, 3代入II 式得
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n=2时，将m=l, 3代入II 式可得
n=3时，将m=l, 2代入II 式可得
再分别由I 式、III 式、IV 式和V 式可得
6． 已知氢原子在t=0时如下处于状态：
其中，
为该氢原子的第n 个能量本征态。求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出t
将t=0时的波函数写成矩阵形式：
＞0时的波函数。
【答案】已知氢原子的本征值为：
利用归一化条件：
于是，归一化后的波函数为：
能量的可能取值为
相应的取值几率为：
能量平均值为：
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