2018年山东大学晶体材料研究所829量子力学考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1．
为电子自旋算符。写出在表象中的矩阵表示、的本征值及其对应的本征态。
【答案】 2． 在并将矩阵
的共同表象中，算符4的矩阵为对角化.
其中本征函数：
求
的本征值和归一化的本征函数，
【答案】（1）设的本征方程为：
容易解得的本征值和相应的本征态矢分别为
（2）将
表象中
的三个本征矢并列，得到从
表象到
表象变换矩阵
利用变换公式：
3． 中子的自旋也为
得到的对角化矩阵
磁矩为
不妨取
若中子处于沿y 方向的均匀磁场中，求自旋波函数。
）
【答案】体系的哈米顿基为：
在表象中，
设自旋波函数为则能量本征方程为：
久期方程为：
由此可得：（1）当自旋波函数为：
时，由
并结合归一化条件
可得
（2）同理，当
时，可得自旋波函数为：
4． 两个电子处于自旋单态，
分别表示两个电子的算符。设的平均值。 则:
为空间任意给定的
两个方向的单位矢量，求关联系数C （a , b ），即
【答案】解法一：取为z 轴，在（x ，z ）平面与夹角为由于
（在
表象），
（在
表象），则
而
解法二：
所以有：
解法三：
电子都处于自旋单态，故而
5． 在【答案】
所以有：
表象中，求
是
方向的单位矢。 所以有：
其中，
因为两个
的本征值和本征态，这里，
本征方程为：即：
由此得：即：
有非零解的条件是：由此得：可求得与
对应的本征矢为：
与对应的本征矢为：
6． 设一维简谐振子的初始（t=0）波函数为
为简谐振子的三个（n=0, 1，2）最低能量的定态波函数. 试求 （1）系数A = ? （2）t 时刻的波函数（3）t 时刻的能量平均值.
【答案】（1）由波函数的正交归一化条件有
故
其中
（2） —维谐振子能量为故
t 时刻波函数为
（3）
各自对应概率为
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