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一、计算题

1． 在【答案】

本征方程为：

即：

由此得：即：

有非零解的条件是：由此得：可求得与

对应的本征矢为：

表象中，求

是

方向的单位矢。

的本征值和本征态，这里，

与对应的本征矢为：

2． 设限制在边长为L 的立方体中的单粒子的本征能量与本征波函数是已知的，其中基态是非简并的，而第一激发态与第二激发态都是3重简并的. 具体而言，基态的本征能量与轨道波函数分别为

第1激发态的本征能量与轨道波函数分别为

第2激发态的本征能量与轨道波函数分别为且前三个单粒子能级是等间隔的.

设由4个上述单粒子构成的全同粒子体系，限制在边长为L 的立方体中. 计算体系的较低的2个本征能量及相应的简并度.

【答案】题中并未给出粒子是费米子还是玻色子，故分两种情况讨论： 由题意可知

Ⅰ

（1）粒子为费米子

此时粒子应该遵守泡利不相容原理，每个波函数最多容下两个粒子. 体系最低能量：对应波函数有

其简并度为6. 体系第一激发态能量（2）粒子为玻色子

此时粒子不受泡利不相容原理约束， 体系最低能量：体系第一激发态能量为：

3． 证明

式中A 为归一化常数

，

其简并度为1.

其简并度为3.

是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量.

其简并度为：3×3=9.

【答案】已知线性谐振子的定态波函数和本征能量为

本题中波函数

所以

是线性谐振子的本征波函数，对应量子数n=2, 因此容易得到其，本征能量为

4． 在

表象中，

求自旋算符在

表象中的矩阵表示为：

则

的本征方程为：

方向投影算符

的本征值和相应的本征态。

【答案】在

a 、b 不全为零的条件是久期方程：

解得：故

的本征值为：时的本征函数为：

时的本征函数为：

5． 氢原子处于状态（1）求轨道角动量的z

分量（3）求总磁矩【答案】⑴

的平均值。 的z 分量

6． 对于一个限制在边长为L 的立方体中的自旋为1/2、质量为m 的粒子，计算基态与第二激发态的本征能量及相应的本征态波函数.

【答案】这是一个三维方势阱问题，例子波函数为

S 为自旋波函数. 可分离变量得

的平均值。

将本征值代入①式，可得：

（2）求自旋角动量的z

分量的平均值。