2018年西北农林科技大学植物保护学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 某血库急需AB 型血，要从身体合格的献血者中获得. 根据经验，每百名身体合格的献血者中只有2名是AB 型血的.
（1）求在20名身体合格的献血者中至少有一人是AB 型血的概率； （2）若要以则
（1）所求概率为
（2）由题意知
的把握至少获得一份AB
的把握至少能获得一份AB 型血，需要多少位身体合格的献血者？
为“第i 名献血者是AB 型血”，
【答案】设共有n 位身体合格的献血者，记事件
由此解得
型血.
2． 设随机变量X 的密度函数为
，所以取n=149时，可保证以
试求以下Y 的密度函数: （1）其反函数为
（2）
（3），及
. 且
，所以Y 的密度函数为
（2）因为其反函数为
的可能取值范围是
，及
. 且
是严格单调增函数，
是严格单调增函数，
【答案】（1）因为Y=2X+1的可能取值范围是
，所以Y 的密度函数为
（3）因为
数，
的可能取值范围是，且
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在上是严格单调增函
其反函数为. 及，所以Y 的密度函数为
这是韦布尔（Weibull ）分布的特例. 一般韦布尔分布（记为
）的密度函数为
本题结论就是
时的韦布尔分布形（1/2，1）.
3． 口袋中有10个球，分别标有号码1到10, 现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求:
（1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率.
【答案】从10个球中任取4个，共有1到10分成三组:
第1组=
，第2组=
，第3组=
.
种取法，故种取法，故
种等可能取法，这是分母，而分子有两种解法.
解法一：记A=“最小号码为5”，B=“最大号码为5”. 为求事件A 与B 的概率，可将球号
事件A 发生必须从第2组中取1个、从第3组中取3个，这共有事件B 发生必须从第2组中取1个、从第1组中取3个，这共有
解法二记X 为取出球的最小号码，Y 为取出球的最大号码，则
这里用到概率的减法性质。
4． 某种产品由20个相同部件连接而成，每个部件的长度是均值为机变量. 假如这20个部件的长度相互独立同分布，且规定产品总长为求该产品的不合格品率.
【答案】
记
为第i 个部件的长度，
则
可用林德伯格-莱维中心极限定理近似算得合格品率
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标准差为的随
时为合格品，为总长度，且
所以不合格品率为
5． 某合金钢的抗拉强度y 与碳含量x 有关，现有92炉钢样数据，从中算得
试用两个标准分别建立一元回归方程.
【答案】 （1）用残差平方和最小的标准，可得两回归系数为
（2）用到回归直线垂直距离平方和最小的标准，可得两回归系数为
比较两种标准下的结果，可见与之间相差较大，这是因其相关系数r=0.8902与1有较大差距.
6． 一个保险公司有10000个汽车投保人，每个投保人平均索赔280元，标准差为800元. 求总索赔额超过2700000元的概率.
【答案】记
为第i 个投保人的索赔额，
则
由林德伯格-莱维中心极限定理，所求概率为
7． 设曲线函数形式为
，试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式.
【答案】本题相对于前两题来说，变换形式稍显复杂，根据原函数形式，可考虑作如下变换:
变换后的线性函数为则最后的回归函数化为
8． 一颗骰子抛两次，求以下随机变量的分布列:
（1）X 表示两次中所得的最小点数； （2）Y 表示两次所得点数之差的绝对值.
【答案】（1）一颗骰子抛两次，共有36种等可能的结果.X 表示两次中所得的最小点数，则X 的可能取值为1，2, 3, 4, 5，6。由确定概率的古典方法得
，进一步，可将之规范化，令
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