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一、计算题

1． 盒中有n 个不同的球, 其上分别写有数字1, 2, •••, 再抽. 直到抽到有两个不同的数字为止. 求平均抽球次数.

【答案】记X 为抽球次数, 则X 的可能取值是2, 3, ….且有

又记得

2． 一仪器同时收到50个信号, 其中第i 个信号的长度为且都服从（0, 10）内的均匀分布, 试求

【答案】因先-莱维中心极限定理, 可得

这表明:50个信号长度之和超过300的概率近似为0.0071.

3． 设曲线函数形式为

试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式.

利用林德伯格设U 是相互独立的,

则y=X-1服从参数为p 的几何分布, 因此

由此

每次随机抽出一个, 记下其号码, 放回去

【答案】本题相对于前两题来说，变换形式稍显复杂，根据原函数形式，可考虑作如下变换：

变换后的线性函数为则最后的回归函数化为

4． 设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6，P （B ）=0.8，问：

（1）在什么条件下P （AB ）取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P （AB ）取得最小值，最小值是多少？ 【答案】（1）因为时，P （AB ）的最大值是0.6.

（2）因

为

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进一步，可将之规范化，令

所以当P （AB ）=P（A ）

所以有

而当时，有P （AB ）达到最小值0.4.

试

5 设从两个方差相等的独立正态总体中分别抽取容量为15, 20的样本, 其样本方差分别为．求

【答案】不妨设正态总体的方差为利用统计软件计算可算出

譬如, 可使用MATLAB 软件计算上式:在命令行输入

）就表示自由度为

的F 分布在x 处的分布函数. 则有

, 于是

.

则给出0.0798,

这里的

6． 某公司对其250名职工上班所需时间进行了调查, 下面是其不完整的频率分布表:

表

（1）试将频率分布表补充完整；

（2）该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？ 【答案】（1）由于频率和为1, 故空缺的频率为

（2

）该公司上班所需时间在半小时以内的人所占频率为

该公司有职工

250人, 故该公司上班所需时间在半小时以内的人有人.

7． 设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布, 平均需要10分钟, 且各件产品的组装时间是相互独立的.

（1）试求组装100件产品需要15小时至20小时的概率；

（2）保证有95%的可能性, 问16小时内最多可以组装多少件产品？ 为组装第i 件产品的时间（单位:分钟）, 则由

（1）根据题意所求概率如下, 再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

【答案】记

（2）设16小时内最多可以组装k 件产品. 则根据题意可列出概率不等式

再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

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,

知

由此查表捐

8． 设伽玛分布，即

【答案】

, 从中解得k=81.

是来自如下总体的一个样本

，求的后验期望估计. 与的联合分布为

若取的先验分布为

于是的后验分布为

这是一个伽玛分布

因而的后验期望估计为

二、证明题

9 设．在, 且N 与

为独立同分布的随机变量序列, 且方差存在. 随机变量N 只取正整数值, 独立. 证明:

【答案】因为

所

以存

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