2018年西安科技大学理学院804高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设行列式
，则方程，为
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
的根的个数为（ ）
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
有两个根
2． 设
其中A 可逆，则=（ ）.
A.
B.
C.
D. 【答案】C
1
【解析】因为
3． 设是非齐次线性方程组
A. B.
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所以的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，则Ax=b的通解为（ ）
C. D. 【答案】B 【解析】因为但D 中
所以
不一定线性无关. 而
，因此不是的特解，从而否定A ，C.
由于故
4． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2设二次型矩阵A , 则
是不定二次型，故选B.
是
，因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
的基础解系. 又由
是（ ）二次型.
由于因此否定A , C, A中有二阶主子式
从而否定D , 故选B.
5． 设A 是矩阵，
A. 如果B. 如果秩
则. 则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. 有非零解
有惟一解 只有零解 有零解.
. 有非零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
未知量个数
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二、分析计算题
6． 求齐次线性方程组
的解空间的一组标准正交基. 【答案】
原方程组与下面方程组同解
所以方程组①有基础解系
设V 为原方程的解空间, 则
. 将
正交化, 得
正交化, 得:
故
为解空间V 的一组标准正交基.
为A 的特征值,
为相应特征向量, 证明:
7． A 为正交阵
（1）（2）当
【答案】 （1）由于正交矩阵A 的特征值的模为1, 因此有
（2）由假设知
所以
即
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