2017年中国石油大学(华东)理学院704数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明：(1)
(2
)
【答案】(1) 设间为
且y
可在
满足方程
满足方程
故
内任意阶可导，所以
(2)
设
故
具有任意阶导数，由
所以幂级数的收敛区间为
可得
所以又由
得
2． 证明：级数1]上却不一致收敛。
【答案】对任意
级数收敛，故
记
大值，所以
从而
故原级数在
上一致收敛.
则
进而可得
时在
上取得最
在[0，1]上绝对并一致收敛，但由其各项绝对值组成的级数在[0，
且和函数y
在
从而幂级数
的收敛区
下面讨论级数由于
所以原级数在
上绝对并一致收敛，但其各项绝对值组成的级
数在上却不一致收敛.
3． 应用凸函数概念证明如下不等式：
(1) 对任意实数a ，b , 有(2) 对任何非负实数a ，b ，
有【答案】有
上的凹函数. 故由定义可知，对任意非负实数即
4． 设角是常数).
【答案】
故
5． 设
在
上可导，且
使得
【答案】用上例的思路来证明之. 令
以及
显然得一点
使
.
如此下去，可以求出
再在
•
取上对
•
在
. 使得
恒成立，故
是
上的凸函数，令定义中的当有
时
.
从而
则
是
因，
可微，证明：在坐标旋转变换
则必有
之下是一(其中旋转
个形式不变量，即若
为n 个正数. 证明在区间
内存
在一组互不相等的数
上对应用介值定理，可以求
使
总之，我们有，
应用介值定理，
又可求得一点
在每一个小区间. 即
亦即
将上式对
从到n 求和，可得
上，对
应用拉格朗日中值定理，存在
使得
二、解答题
6． 求两曲面
【答案】对方程
关于Z 求导得
解得
因此交线在
7． 求常数成立.
【答案】令
由题知所考虑的积分在上半平面内与路径无关，所以
即
故
的交线在平面上的投影曲线的切线方程.
面的投影曲线的切线方程为
使曲线积分(其中) 对上半平面内任何光滑闭曲线L
相关内容
相关标签