● 摘要
Lotka--Volterra模型和恒化器模型是两类重要的生物数学模型.Lotka--Volterra模型是种群动力学研究的核心内容, 它在生态学, 特别是动植物保护和生态环境的治理与开发等领域中有着非常重要的作用. 恒化器是用于微生物连续培养的一种实验装置. 它不仅是一个简化了的湖泊模型, 可用于模拟湖泊和海洋中单细胞藻类浮游生物的生长, 而且它已被广泛地应用于微生物的生产、生物制药、食品加工及生态系统尤其是水生生态系统的管理、预测和环境污染的控制.
本文基于这两类生物模型的研究现状, 主要运用非线性分析和非线性偏微分方程工具, 特别是反应扩散方程(组)和对应椭圆方程(组)的理论和方法, 深入系统地研究了具有抑制剂的非均匀恒化器模型和具有非单调转换率的Lotka--Volterra模型的动力学行为, 包括正平衡态解的存在性、多解性、稳定性以及长时行为. 所涉及的数学理论包括: 上下解方法、比较原理、单调动力系统理论、全局分歧理论、拓扑不动点理论、Lyapunov--Schmidt过程和扰动理论等. 本文的主要内容包括以下几个方面:
一、研究了基本的非均匀恒化器模型, 利用比较原理和上下解方法得到了模型正平衡解的全局吸引性. 而且, 采用上下解方法、Sobolev嵌入定理并结合特征值性质, 详细分析了单物种模型的正解同物种生长率的关系.
二、考察了一类具有内部抑制剂的非均匀恒化器模型. 首先分析了平凡的、半平凡的非负解的稳定性, 得到了系统解的一些渐近行为, 并根据单调动力系统理论得到了正平衡解的存在性. 然后, 利用度理论、分歧理论以及摄动理论, 重点分析了抑制剂对系统正平衡态解及渐近行为的影响. 结果表明体现抑制作用的参数$mu$在决定模型解的稳定性和长时行为时起了重要作用. 当参数$mu$充分大时, 如果物种u的生长率适当大,则此模型没有正解, 且其中一个半平凡的非负解是全局吸引的; 如果物种u的生长率满足一定条件,则此模型的所有正解由一个极限问题决定, 且两个半平凡的非负解是双稳定的.
三、讨论了一类具有外加抑制剂的非均匀恒化器模型, 利用分歧理论分析了共存解的全局结构和局部稳定性, 采用单调方法研究了系统的渐近行为, 并用数值模拟的方法说明了竞争物种灭绝或共存以及正平衡态解全局稳定的可能性, 讨论了物种振荡与模型各参数的关系.
四、研究了一类具有内部抑制剂的质体负载(plasmid-bearing)与质体自由(plasmid-free)的物种相互竞争的非均匀恒化器模型. 首先, 采用通常的锥映射的不动点指标理论得到了物种共存的充分条件. 然后, 利用度理论、分歧理论以及摄动理论, 主要分析了抑制剂对模型正平衡态解的个数及稳定性的影响. 结果显示体现抑制作用的参数$mu$在决定模型共存解个数时起了重要作用.
当参数$mu$充分大时, 如果物种u的生长率满足一定条件, 则此模型至少存在两个共存解; 如果物种u的生长率适当大, 则此模型存在唯一的渐近稳定的共存解. 最后, 利用数值模拟的方法
更细致地刻画了各参数对模型共存解个数及稳定性的影响.
五、考虑了一类具有外加抑制剂的质体负载(plasmid-bearing)与质体自由(plasmid-free)的物种相互竞争的非均匀恒化器模型, 利用全局分歧理论、不动点指标理论、比较原理和线性稳定性方法, 分析了共存解的全局结构和局部稳定性, 并从数值的角度讨论了竞争物种灭绝或共存以及物种振荡对模型各参数的依赖关系.
六、研究了一类具有扩散和非单调转换率的Lotka--Volterra模型, 采用分歧理论、Lyapunov--Schmidt过程和扰动理论分析了此模型平衡态系统的多解性和稳定性. 结果表明如果参数d适当大, 那么系统的共存解关于分歧参数形成了一条S-型的光滑曲线. 而且, 我们也得到了该曲线上正解的稳定性. 如果参数d适当小, 则模型可能存在唯一或不唯一的共存解.