2017年南京师范大学F113高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点（x , y ）处的切线斜率等于2x+Y。
，依题意有【答案】设曲线方程为y=y（x ）
由x=0，y=0，得C=2.故所求曲线的方程为
2． 设有一质量为m 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R=cv（其中C 为常数，v 为物体运动的速度，试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系。）
【答案】根据牛顿第二定律，
有关系式
方程成
为
得
于是
有
代入初始条件
积分
得
，得
得
并依据题设条件，
得初值问题
分离变量后积分
，即
代入初始条
件
故所求特解（即下落的距离与时间的关系）为
3． 设
【答案】由于f （x ，y ）在不同范围内的表达式不同，故应将积分区域划分为如下图所示。
当
时，
当
时，有
求
。 两个区域，
当
时，有
当
时，有
综上所述，得
4． 设
【答案】在算不方便，故令
，其中f 为可微函数，求
。
中，由于函数f 不是以单独一个字母作为自变量，从而造成计，得
，故
则
二、计算题
5． 单调函数的导函数是否必为单调函数? 研究下面这个例子:
【答案】单调函数的导函数不一定是单调函数。例如函数
,
且
在任何有限区间内只有有限个零点。因此函数f （x ）在
在
内却不是单调函数。 ，求
内为单调增加函
数。但它的导函数 6． 设
【答案】因为
所以因为
所以因为
所以因为
所以
7． 求下列函数所指定的阶的导数:
求
求
。
,
由于
【答案】（l ）利用莱布尼茨公式
其中