2017年华北理工大学生命科学学院702高等数学考研强化模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 向量
场
_____。 【答案】2 【解析】
2． 通过直线
【答案】z=2
【解析】由于所求平面经过已知直线，故可设所求平面方程为
即
又所求平面与已知球面相切，则球心到所求球面的距离等于该球面的半径2，根据点到平面的距离的计算公式可得
解得 3． 曲面
【答案】
与平面
，使得曲面在此点的切平面于平
面得，曲面
在的法向量
处的法向量
为
平行，
平行。由曲面方
程，
它应该与已知平面
即
，解得
故所求切平面方程为
即
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在
点处的散
度
且与球面相切的平面方程为_____。
，故所求平面方程为z=2.
平行的切平面的方程是_____。
【解析】由题意，设曲面上有
点
。
4． 与积分方程
【答案】注：1°方程
等价的微分方程初值问题是_____。
的积分上限x 是积分方程的变量，它是与y 相对应的；而积分表达
式中f （x , y ）dx 中的x 是积分变量，不能将它与积分上限相混淆，
故积分方程应理解为
2
°由于积分方程后，有恒等式然，当
5． 设直线L 1：
【答案】
与两直线
与L 2：
相交于一点，则
_____。
时，
确定了隐函数
因此积分方程中的y 取
即
显
于是上式两端对x 求导，就得
即
【解析】显然点M 1（1, -1, 1）在点L 1上，点M 2（-1, 1, 0）在L 2上，则向量L 1和L 2的方向向量共面，即
由此解得
6． 设
【答案】【解析】
，
具有二阶连续导数，则
_____。
7． 直线L :
【答案】
在平面π：x-y-3z+8=0上的投影方程为_____。
【解析】先求出一平面π1，使它过L 且垂直于平面π，设L 的方向向量为s ，π1的法向量为
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n 1，π的法向量为n ，则而
在方程即
在π上的投影既在平面π上又在平面π1上，因此
8． 已知曲线L 为曲面
【答案】【解析】将
代入
得z=1，则曲线L 的参数方程为
的交线，则
_____。
为所求。
中令x=0, 得y=4, z=-1, 则π1的方程为
9． 直线L ：
【答案】较为简单，即
则有
即所求旋转曲面的方程为
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绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为_____。
【解析】求空间直线绕某一坐标轴旋转一周所得的曲面方程，可首先将该直线化为参数方程