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一、简答题

1． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

2． 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。

【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。

3． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

4． 什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？

【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

时，算符对态

为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合

，即用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率）

二、计算题

5． 自旋在

方向的粒子，磁矩为

置于沿z

方向的磁场中，写出其哈密顿量，并求其

概率幅与时间的关系。 【答案】将上述自旋在

方向的粒子（譬如电子）置于沿z 方向的磁场B 中观察其概率幅的

变化。这时的哈密顿矩阵为：

式中，

是泡利矩阵，

为粒子的磁矩。电子负电，从而自旋磁矩

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与角动量的方

向相反。当自旋角动量和磁场同沿z 方向时，磁矩沿-z 方向。 可得薛定谔方程为：

即：

积分后得：

取t=0时刻的初始条件为则:

式中，

围绕极轴转动，相

由上式可以看出，粒子的自旋矢量始终与极轴保持固定的夹角但以角速度当于经典电磁学中磁偶极子在外磁场中拉莫旋进的角速度，如图所示。

图

6． 设一维简谐振子的初始（t=0）波函数为

为简谐振子的三个（n=0, 1，2）最低能量的定态波函数. 试求 （1）系数A = ? （2）t 时刻的波函数（3）t 时刻的能量平均值.

【答案】（1）由波函数的正交归一化条件有

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其中