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一、证明题

1． 设总体X 的分布函数F （x ）是连续的,

试证:

（1）（2）

（3）和的协方差矩阵为

其中

成立.

且是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量:

为取自此总体的次序统计量,

设

【答案】（1）由分布函数F （x ）的单调性可知, （0, 1）总体的次序统计量；

（2）是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量, 所以, 故

（3）和的联合分布函数为:

又由分布函数F （x ）的连续性可知, F （X ）服从均匀分布U （0, 1）, 故而^是来自均匀分布U

则

所以,

结合（2）可知, 和的协方差矩阵为:

2． 如果

且. 有

试证:P （X=Y）=1. 【答案】对任意的故当即对任意的

时, 有

有

于是有

从而

3． 设X 为非负连续随机变量，证明：对

，则有

【答案】设X 的密度函数为p （X ）

4． 设

，试证

：

成立, 结论得证.

【答案】因为X 的密度函数为

又因为Y=In X 的可能取值范围为单调增函数，其反函数为

且

是区间

上的严格

所以Y 的密度函数为

这正是的密度函数.

5． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明：

【答案】由于其中

存在，所以级数绝对收敛，从而有

代回原式即得证.

6． （伯恩斯坦大数定律）设

证明:

【答案】

记

所以

由的任意性知

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

，则这说明

即

8． 设总体X 的密度函数为

为容量为5的取自此总体的次序统计量, 试证

【答案】

先求

的联合密度为

下求

的联合密度, 为此, 令

其雅可比行列式的绝对值为

. 由

是方差一致有界的随机变量序列, 且当

任

对

存在M>0,

当

时,

一致地有

时,

有

服从大数定律.

7 设T 是g ，（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若．

【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE

，即

且

的无偏估计，故其差

由判断准则知

是0的无偏估计，

与相互独立.

所以

的联合密度. 由于总体X

的分布函数为

得于是