2017年哈尔滨工业大学概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 服从（0，1）上的均匀分布，试求以下Y 的密度函数：
（1）（2）（3）（4）
【答案】X 的密度函数为
（1）因为Y 的可能取值区间为调减函数，其反函数为
且
，且
所以
在区间（0，1）上为严格单
的密度函数为
，且（2）因为Y 的可能取值区间为（1，4）函数，其反函数为
且
在区间（0，1）上为严格单调増
所以Y=3X+1的密度函数为
，且（3）因为Y 的可能取值区间为（1，e ）数，其反函数为
且
所以
甶区问（0，1）上为严格单调增函的密度函数为
（4）因为Y 的可能取值区间为其反函数为
且
所以
且
在区间（0，1）上为严格单调减函数，的密度函数为
2 设总体X 服从几何分布, 即．
为该总体的样本. 分别求【答案】容易看出所以
同样可以得到
此式对k=l也成立, 因为
所以
的分布列为
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其中
的概率分布.
可以验证上述分布列满足非负性和正则性两个基本要求. 事实上,
由于
从而
而其和
下面求所以
类似有
所以
的分布列为
同样可以验证上述分布列满足非负性和正则性两个基本要求. 这里非负性是显然的, 而其和
3． 设有k 台仪器，已知用第i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为些仪器独立地对某一物理量各观察一次，分别得到取何值，方能使
【答案】若要使
成为的无偏估计，且方差达到最小？
为的无偏估计，即
则必须有
此时，
因此，问题转化为在令
的条件下，求
由
得到
从①中可以得到
代入②中，解出
从而
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所
以
的分布列. 由于
（i=l，2, …，k ）. 用这
应
，设仪器都没有系统误差. 问
的极小值.
4． 设随机变量X 和Y 同分布，X 的密度函数为
已知事件
独立，且
求常数a.
由此解得P （A ）=0.5，进而由
解得
5． 设总体X 的概率密度为_
是来自总体X 的简单随机样本
（I ）求参数的矩估计量； （II
）求参数的最大似然估计量。 【答案】⑴由
令（II
）设
得参数的矩估计量为
其中参数
未知
，
，从而
【答案】由同分布可得P （A ）=P（B ）
为样本观测值，则似然函数为
于是
令
得
故参数的最大似然估计量为估计法。
【评注】本题为基础题型，要熟练掌握总体未知参数的两种点估计法：矩估计法和最大似然
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