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一、计算题

1． 试确定积分区域D ，使二重积分

达到最大值.

大于所围的

【答案】由二重积分的性质可知，当积分区域D 包含了所有使被积函数等于零的点，而不包含使被积函数平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.

2． 求由下列各曲线所围成的图形的面积:

（1）（2）

x

小于零的点，即当D 是椭圆

与（两部分都要计算）;

与直线y=x及x=2；

-x

（3）y=e、y=e与直线x=1；

（4）y=lnx，y 轴与直线y=lna，y=lnb（b>a>0） 【答案】（1）如图1，先计算图形D 1的囱积，容易求得的窄条面积近似于高为

与

的交点为（-2，2）

和（2，2）. 取x 为积分变量，则z 的变化范围为[-2，2]，相应于[-2，2]上的任一小区间[x，x+dx]

、底为dx 的窄矩形的面积，因此有

图形D 2的囱积为

（2）如图2，取x 为积分变量，则32的变化范围为[l，2]，相应于[l，2]上的任一小区间[x，x+dx]的窄条面积近似于高为

，底为dx 的窄矩形的面积，因此有

图1 图2

（3）如图3，取2为积分变量，则x 的变化范围为[0，l]，相应于[0，l]上的任一小区间[x，

x+dx]的窄条面积近似于高为e -e 、底为dx 的窄矩形的面积，因此有

x

-x

（4）如图4，取y 为积分变量，则y 的变化范围为[lna，lnb]，相应于[lna，lInb]上的任一小区间[y，y+ dy]的窄条面积近似于高为dy 、宽为e 的窄矩形的面积，因此有

y

图3 图4

3． 设抛物线y=ax2+bx+c通过点（0，0），且当x ∈[0, 1]时，y ≥0。试确定a ，b ，c 的值，使得

2

抛物线y=ax+bx+c与直线x=1，y=0所围图形的面积为，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体

的体积最小。

2

，可得c=0。 【答案】由已知条件：抛物线y=ax+bx+c通过点（0，0）2

抛物线y=ax+bx+c与直线x=1，y=0所围图形的面积为

从而得到

，即

。该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为

因此当b=2时体积最小，此时此抛物线满足y ≥0, 故所求解：

4．

求函数

在曲线

上点

处，沿曲线在

，抛物线为

，b=2，c=0符合题目要求。

，在区间[0, 1]上，

该点的切线正方向（对应于t 增大的方向）的方向导数。

【答案】先求曲线在给定点的切线方向 因为

，所以曲线在点

。又

处的切线的方向向量可取为

故

5． 如图所示电缆

的长为S ，跨度为21，电缆的最低点0与杆顶连线AB 的距离为f ，则电缆

长可按下面公式计算。

图

当f 变化了△f 时，电缆长的变化约为多少? 【答案】

6． 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性：

【答案】（1）

当p>1时，

收敛；当

时，时，由

于时，级数

是交错级数，且满足莱布尼茨定理的条件，因而收敛且为条件收敛；

当

，此时级数发散，综上可知，当p>1时，级数绝对收敛；当

条件收敛；当

（2

）

收敛，即原级数绝对收敛。 （3）

则

而级数

发散，由极限形式的比较审敛法知

发散，而

时，级数发散。

而级数

收敛，

由比较审敛法知

是交错级数且满足

莱布尼茨定理的条件，因而收敛，故该级数条件收敛。