2017年北京林业大学概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设总体X
的分布函数为
是来自总体的简单随机样本，（1）求
量；（3）是否存在常数a ，使得对任意的
都有
其中为未知的大于零的参数
，
；（2）求
的极大似然估计
【答案】（1）由题意，先求出总体X 的概率密度函数
（2）极大似然函数为则当所有的观测值都大于
零时
，
（3）由于可知
令
得
的极大似然估计量为
独立同分布，显然对应的
由辛钦大数定律，
可得
故存在常数
使得对任意的
都有
也独立同分布，又有（1）
再由（1）（2）可知
，
2． —个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，其中有k 个白球，求罐子里黑球数和白球数之比R 的最大似然估计.
【答案】解法1 记P 为罐子中白球的比例，令Xi 表示第i 次有放回抽样所得的白球数，
则
，故p 的最大似然估计为
因为黑球数与白球数比值
根据最大似然估计的不变性，有
对具体的样本值即n 个抽到k 个白球来讲，R 的最大似然估计为从中有放回的抽一个球为白球的概率为
从罐中有放回的抽n 个球，可视为从二点分布
表
中抽取一个样本容量为n 的样本. 当样本中有k 个白球时，似然函数为
， 其对数似然函数为InL （R ）=（n-k ）lnR-nln （1+R）将对数似然函数对R 求导，并令其为0, 得似然方程解之可得
所以
由于其对数似然函数的二阶导数为
是R 的最大似然估计.
即罐中黑球数与白球数之比的最大
解法2 设罐子里有白球1个，则有黑球R1个，从而罐中共有（1+R）1个球.
譬如，在n=10, k=2场合，R 的最大似然估计
似然估计为4, 若白球1个，黑球为4个；或者白球2个，黑球为8个等.
3． 假定电话总机在某单位时间内接到的呼叫次数服从泊松分布，现观测了40个单位时间，接到的呼叫次数如下：
在显著性水平0.05下能否认为该单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次？并给出检验的p 值. 【答案】以X 记电话总机在该单位时间内接到的呼叫次数，可认为设为
而
因而，检验的统计量为若取拒绝原假设.
由于u 在成立时，服从标准正态分布，因而检验的p 值为
则
检验的拒绝域为
由于u=—2.1落入拒绝域，故
由于n=40较大，故可以采用大样本检验，泊松分布的均值和方差都是
，则要检验的假
4． 检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：
【答案】
5． 一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？
【答案】设事件A 为“颗骰子掷4次，至少出现一次6点”，则. 为“一颗骰子掷4次，不出现6点”，于是
又设事件B 为“两颗骰子掷24次，至少出现一次双6点”，则瓦为“两颗骰子掷24次，不出现双6点”，于是
从计算结果可以看出：赌徒的感觉是不对的，因为两者的概率相差0.0263，而概率相差0.0263的两个事件，在实际中仅凭感觉很难发现它们的细小差别，只有从理论上才能识别.
6． 盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X 表示取到黑球的个数，以Y 表示取到红球的个数，试求P （X=Y）.
【答案】
7． 对泊松分布P （θ），
（1）求
，使g （θ）的费希尔信息量与θ无关. （2）找一个函数g （•）【答案】⑴（2）所以，
令
（其中为任意常数）.
，（其中c 为大于0的任意常数）则
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