2017年长春工业大学概率论(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是50%、30%和20%，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8、0.3和0.1. 试求找到钥匙的概率.
【答案】记事件
为“钥匙掉在宿舍里”，
为“钥匙掉在教室里”，
为“钥匙掉在路上”，事
2． 设
的渐近分布为
3． 某餐厅每天接待400名顾客, 设每位顾客的消费额（元）服从（20, 100）上的均匀分布, 且顾客的消费额是相互独立的. 试求:
（1）该餐厅每天的平均营业额；
（2）该餐厅每天的营业额在平均营业额±760元内的概率. 【答案】记
为第i 位顾客的消费额, 则
, 所以
而该餐厅每天的营业额为
是从二点分布b （1, p ）抽取的样本, 试求样本均值的渐近分布.
件B 为“找到钥匙由全概率公式得
【答案】二点分布b （1, p ）的均值和方差分别为p 和p （l-p ）, 样本容量为20,
因而样本均值
（1）该餐厅每天的平均营业额为
（2）利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可得
这表明:该餐厅每天营业额在23240到24760元之间的概率近似为0.90.
4． 对下列数据构造茎叶图
【答案】取百位数与十位数组成茎, 个位数为叶, 这组数据的茎叶图如下:
图
5． —个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，其中有k 个白球，求罐子里黑球数和白球数之比R 的最大似然估计.
【答案】解法1 记P 为罐子中白球的比例，令Xi 表示第i 次有放回抽样所得的白球数，
则
，故p 的最大似然估计为
因为黑球数与白球数比值
根据最大似然估计的不变性，有
对具体的样本值即n 个抽到k 个白球来讲，R 的最大似然估计为从中有放回的抽一个球为白球的概率为
从罐中有放回的抽n 个球，可视为从二点分布
表
中抽取一个样本容量为n 的样本. 当样本中有k 个白球时，似然函数为
， 其对数似然函数为InL （R ）=（n-k ）lnR-nln （1+R）将对数似然函数对R 求导，并令其为0, 得似然方程解之可得
所以
由于其对数似然函数的二阶导数为
是R 的最大似然估计.
即罐中黑球数与白球数之比的最大
解法2 设罐子里有白球1个，则有黑球R1个，从而罐中共有（1+R）1个球.
譬如，在n=10, k=2场合，R 的最大似然估计
似然估计为4, 若白球1个，黑球为4个；或者白球2个，黑球为8个等.
6． 设随机变量Y 服从参数为λ=1的指数分布, 定义随机变量X 如下:
求
和
的联合分布列.
的联合分布列共有如下4种情况:
所以
的联合分布列为
表
【答案】
7． 设X 是只取自然数为值的离散随机变量. 若X 的分布具有元记忆性，即对任意自然数n 与m ，都有
【答案】由无记忆性知
或
若把n 换成n-1仍有
上两式相减可得
若取n=m=l，并设P （X=l）=p，则有
若取n=2，m=l，可得
若令
则用数学归纳法可推得
这表明X 的分布就是几何分布.
则X 的分布一定是几何分布.