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一、综合题（计算、解答、证明）

1． 研究两个n<0时等于0的有限时宽序列该卷积的离散傅里叶反变换，指出变换为

和

和.

并且

和

线性卷积中的点。

和

其离散傅里叶

则

将每一个序列的20点离散傅里叶变换，然后计算它们的卷积的离散傅里叶反变换，令「U ）表示

的哪些点相当于

【答案】本题要用到圆周卷积的公式：两个宽度为N 的有限时宽序列

可以求得另外一个序列

的表达式为

所以，我们利用上式可知

和

的线性卷积为

基中

（因为20+8 — 1=27）时有值，其他时为0。

' 时有值，

而循环卷积在

逐一考虑

和

异同处，可以得出：对

时有值，

所以我们以

两者

由于线性卷积在

1使其离散傅里叶变换的系数为

是不同的，而从n=7开始到n= 19, 两者是相同的。

2． 试证明在用等波纹逼近法设计线性相位FIR 滤波器时，如果冲激响应h （n ）奇对称，并且其长度N 为偶数，那么幅度函数

的极值数

的约束条件为

【答案】对于这种情况（情况4），有

由三角公式

得到

其中系数

是通过合并

的同幂次项而得到的。现在通过求导来考察极值点。

令

则有

两边同除以

并利用三角公式

则上式变为

令

则上式变为

将x 的同次幂的系数合并，则上式可以写为

显然，上式左边是一个x 的或者说

3． 证明离散相关定理。若

则

【答案】根据DFT 的惟一性，只要证明

即可。

次多项式，它有

为

个根，这也就是说，的极值数，因此对于情况4

，

有个零点，

至多有

个极值。设

的约束条件为

令

则

所以

当然也可以直接计算

由于

所以

4． 求以下序列的Z 变换及其收敛域，并在z 平面上画出极零点分布图。 （1）（2）（3）式中，N=4。 【答案】 （1）由

得零点为

得极点为

零极点图和收敛域如图 （a ）所示，图中，z=l处的零极点相互对消。