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一、综合题（计算、解答、证明）

1． 我们希望利用一个单位取样响应长度为50个取样的有限冲激响应滤波器来过滤一串很长的数据。要求 利用重叠保留法通过快速傅里叶变换来实现这种滤波器，为了做到这一点：①输入各段必须重叠V 个取样；② 我们必须从各段产生的输出中取出M 个取样，使这些从每一段得到的取样连接在一起时，得到的序列就是所要 求的滤波输出。假设输入的各段长度为100个取样，而离散傅里叶变换的长度为128点，进一步假设，循环卷积 的输出序列标号从0到127。 ⑴求V ; (2) 求 M ;

(3) 求取出来的M 个点的起点和终点的标号。即确定从循环卷积的128点中要取出哪些点，去和前一段的点衔接起来。

【答案】对于每个循环卷积，开始的49个点将是不正确的，我们得到51个正确的点时必须重叠100-51=49个点，所以

(1) V=50-1=49, 即49个点是重叠的。

(2) M=100—49 = 51，即51个点是取出来和前后两段衔接的。

(3) 从0点到第48点，从第100到第127点是不正确的，取每个循环卷积的第49点到第99点去和前一段衔接起来。

2． 设数字滤波器的差分方程为

试画出系统的直接型结构。

【答案】由差分方程得到滤波器的系统函数为

画出其直接型结构如图4所示。

图4

3． 设计一数字低通滤波器，其对应模拟低通滤波器的幅度函数为窗函数法设计数字滤波器，数据长度为（1）确定用哪一种窗函数比较合适； （2）所设计的数字滤波器的截止频率为多少；

（3）确定所设计数字滤波器的理想频率特性及理想单位脉冲响应； （4）确定合适的窗函数宽度N ;

（5）计算出相应的模拟和数字滤波器的过渡带宽。 【答案】（1）阻带衰减（2）截止频率：

（3）数字滤波器理想特性为：

为保证线性相位：

所以：

（4）因为

所以有：

即窗函数宽度为20。

（5）模拟和数字滤波器的过渡带宽为：

4． 试确定下列序列的傅里叶变换。

【答案】离散信号的傅里叶变换

用矩形窗设计。

采样频率为

阻带衰减为

用

上式中的级数收敛是因为

所以

5． 已知

滤波器的单位脉冲响应为：

试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。 【答案】（1）由所给线性相位特性：

，所以幅度特性关于由于N=6为偶数（情况2）

（2）由题中h （n ）值可知，h （n ）满足相位特性：

，所以幅度特性关于由于7为奇数（情况3）

6． 设是长度为2N 的有限长实序列（1）试设计用一次N 点FFT 完成计算（2）若已知

三点奇对称。 为

的2N 点DFT 。 的2N 点IDFT 运算。 点奇对称。

所以FIR 滤波器具有B 类线性

的取值可知，

满足

所以FIR 滤波器具有A 类

的高效算法。

试设计用一次N 点IFFT 实现求

【答案】本题的解题思路就是DIT-FFT 思想。