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一、填空题

1． 普朗克的量子假说揭示了微观粒子_____特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的_____性。 【答案】粒子性；波粒二象性

【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说诞生奠定了基础.

2．

一维谐振子升、降算符密顿量H 用N 或【答案】 3．

表示_____，几率流密度表示为_____。

描述的状态. 且此波函数可以按力学量A 所对应的厄米认为

是归一的，则决定系数的表达式为_____。

_____。

爱因斯坦后来将此应用到了光电效应

上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这为量子力学的

、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与、a 的关系是 ; 哈

、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。

【答案】几率密度；

4． （1）体系处在用归一化波函数算符的本征函数系展开. 即

（2）题（1）中设是算符的本征值，则力学量A 的平均值果的概率为_____。 【答案】（1）【解析】由题意考虑到正交归一化条件（2）

以及正交归一化条件

在上式两边乘以

有

并积分得

（3）题（1）中当对体系进行力学量A 测量时，测量结果一般来说是不确定的. 但测量得到某一结

【解析】由平均值定义式（3）

为确定

在上式两边乘以有

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有

【解析】由题意考虑到正交归一化条件

并积分得

而概率应该为为定值.

5． 波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的_____和在该点扰到粒子的_____成正比。 【答案】强度；几率

6． 玻恩关于波函数统计解释的基本论点是_____。

【答案】物质的本源是粒子；波动性是指微观粒子处于某一物理量值的统计几率

二、选择题

7． 量子谐振子的能量是（ ）

.

【答案】A

【解析】

由于谐振子的哈密顿算符为

8． 在量子力学中. 对每一个物理量A , 都有一个厄米算符

【答案】B

【解析】物理量平均值定义

为

考虑到正交归一化条件

分别为物理量本征值及取值概率，

而和力学量算符的厄米性，于是

与之对应，

若体系处在由波函数而

本征值为n ，

于是谐振子能量为

描述的态中. 则在t 时刻. 对物理量A 测量时所得的平均值A. t为（ ）。

9． 下面哪组是泡利矩阵（ ）. A. B. C.

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D. 【答案】A

再由

最终推导出泡利矩阵只能

【解析】泡利矩阵必须满足以下对易关系为

10．给出如下对易关系：

【答案】

11．（1）【答案】 12．【答案】

_____

_____；（2）

_____。

_____。

三、证明题

13．试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：

（其中

为幺正变换，则:

）

可见，本征值不变。

14．设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，【答案】设束缚定态为

即有：

因A 不显含时间t , 所以

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因而有：