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一、填空题

1． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换

2． 一粒子的波函数【答案】

的整数倍；对称变换 则粒子位于

间的几率为_____。

3． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。

【答案】对称性；反对称性 4．

为氢原子的波函数（不考虑自旋），

分别称为_____量子

数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。 【答案】主；角；磁；

5． 称_____等固有性质_____的微观粒子为全同粒子。

【答案】质量；电荷；自旋；完全相同

6． （1）自由粒子被限制在x 和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理. 如果没有给出其他资料，则粒子在 x 和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067

（2）上题中，按照量子力学. 处于最低能态的粒子在x 和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050 【答案】（1）B 【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，

即所求概率为

（2）A

【解析】取x 为原点，则有波函数为所求概率即

二、选择题

7． 类氢原子问题中，设原子核带正电核为

为原子的波尔半径，对处于基态的电子，其出

现几率最大的径向坐标位置是（ ）。 A. B. C. D. E. 【答案】B

8． 考虑个无相互作用的玻色子处在一维无限深势阱中，粒子质量为

势阱范围为

则体系的基态能量是（ ）。

【答案】E

9． 下面关于厄米算符的定义式中. 正确的为（ ）

.

【答案】A

【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为力学量算符的本征值必须为实数. 厄米算符定义式为

10．已知体系的哈密顿算符为

下列算符

与对易的有_____。

【答案】

11．对力学量进行测量. 要能得到确定结果的条件是（ ） A. 体系可以处于任一态

B. 体系必须处于宏观态 C. 力学量必须是守恒量 D. 体系必须处于的本征态 【答案】D

【解析】若对力学量的测量得到的是确定结果，则要求体系必须处于定态，而处于定态的条件即体系处于力学量对应的本征态.

12．给出如下对易关系：

【答案】

三、计算题

13．设一维粒子的HamiltonianH ，坐标算符为x. 利用利用能量本征态的完全性关系，

将

用

【答案】利用于是

14．分别在【答案】（1）在

令

因此有：由可得：

有：

因

是厄米算符，

有

所以

即a 、d 为实数

，

可得即表象中，求出表象中

的矩阵表示，并求出由

表象到知

表象的变换矩阵。的本征值为±1，故

：

和E. ，表出，其中

是能量本征值为E. ，的本征矢。

应为对角矩阵，对角元为的本征值，由

所以a=﹣a ，即a=0；d=﹣d ，即d=0。

由

有：