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一、填空题

1． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。 【答案】

2． 一粒子的波函数【答案】

则粒子位于间的几率为_____。

3． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数

【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.

4． 对一个量子体系进行某一物理量的测量时，所得到的测量值肯定是_____当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的. 除非体系处于_____。 【答案】本征值；定态

【解析】物理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它是各个本征态的混合态，这就导致物理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值.

5． 判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是_____。

【答案】当物理体系的作用量与A 相比拟时，该物理体系视为量子体系；当物理体系的作用量远大于时，视为经典体系。 6 设体系的状态波函数为．量

的关系为_____。

如在该状态下测量力学是F 在确定的值则力学量算符与态矢

【答案】

二、选择题

7． 在量子力学中. 对每一个物理量A , 都有一个厄米算符

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与之对应，

若体系处在由波函数

描述的态中. 则在t 时刻. 对物理量A 测量时所得的平均值A. t为（ ）。

【答案】B

【解析】物理量平均值定义

为

考虑到正交归一化条件

分别为物理量本征值及取值概率，

而和力学量算符的厄米性，于是

8． 一维运动中，

哈密顿量【答案】

9． 量子力学中，体系的任意态_____，展开式系数_____。 【答案】

10．角动量算符满足的对易关系为【答案】

_____，坐标和动量

的对易关系是_____。

可用一组力学量完全集的共同本征态

展开，展开式为

11．考虑个无相互作用的玻色子处在一维无限深势阱中，粒子质量为

势阱范围为

则体系的基态能量是（ ）。

【答案】E

12．类氢原子问题中，设原子核带正电核为现几率最大的径向坐标位置是（ ）。 A. B. C. D. E. 【答案】B

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为原子的波尔半径，对处于基态的电子，其出

三、证明题

13．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值

由此得

表示所属的本征函数，则

即是实数。

是束缚态的波函数，

因为是厄密算符，于是有

14．—粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设相应的本征能量色试证明这两个波函数对应的态矢正交.

【答案】由题意

并在方程两边同时积分

有

考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有

又

则

设粒子本征波函数完备集为

则由正交归一化条件有

态矢为态矢为

即

Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有

此即亦即两个波函数对应态矢正交.

四、计算题

15．若是电子的自旋算符，求： （1）

（2）

【答案】⑴

或者：

（2）

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