2017年哈尔滨商业大学601自命题理学数学之概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 任意两事件之并
可表示为两个互不相容事件之并，譬如
【答案】⑴
（2）利用加法公式可得
2． 对于组合数
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（2）因为
（3）因为
（4）因为
所以
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（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明
证明：
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证.
（5）设计如下一个抽样模型：一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，
则事件=“取出的II 个产品中有k 个不合格品”的概率为
由诸次
互不相容，且
得
把分母移至另一侧即得结论.
注：还有另一种证法：下述等式两端分别展开
可得
比较上式两端的系数即可得
I
（6）在（5）中令a=n，b=n, 则得
再利用（1）的结果即可得证.
3． 若
【答案】由
试证：
得
所以得
即
所以
即
由此得
即
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4． 设是来自正态分布的样本, 证明,
在给定
是充分统计量. 的条件密度函数为
【答案】由条件,
它与
5． 设总体
【答案】令
则
对上式求导易知，当
时上式达到最小，最小值为
独立同分布，
，证明：
是的相合估
它小于的均方误差
无关, 从而
是充分统计量.
是样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合
估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
6． 设P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，试证
【答案】 7． 设计.
【答案】由于
这就证明了
8． 设
，是的相合估计.
为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为
（1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布；
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