2017年复旦大学生命科学学院861概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 用天平称某种物品的质量（砝码仅允许放在一个盘中），现有三组法码：（甲）1，2，2，5，10（g ）；（乙）1，2，3，4，10（g ）；（丙）1，1，2，5，10（g ），称重时只能使用一组砝码. 问：当物品的质量为lg ，2g ，…，l0g 的概率是相同的，用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少？
【答案】分别用X ，Y ，Z 表示用甲、乙、丙三组砝码称重时所用的砝码数.
；2个砝码可称4种物（1）用甲组法码称重时，1个砝码可称4种物品（1，2，5，10（g ））；3个砝码可称2种物品（8，9（g ）品（3，4，6，7（g ）））. 所以X 的分布列为列为
表
1
因此平均所用法码数为：
；2个法码可称3（2）用乙组法码称重时，1个按码可称5种物品（1，2，3，4，10（g ））；3个砝码可称2种物品（8，9（g ）种物品（5，6，7（g ）））. 所以Y 的分布列为
表
2
因此平均所用法码数为：
；2个砝码可称3种物（3）用丙组砝码称重时，1个砝码可称4种物品（1，2，5，10（g ））；3个砝码可称2种物品（4，8（g ）；4个砝码可称1种物品（9（g ）品（3，6，7（g ））））. 所以Z 的分布列为
表
3
因此平均所用砝码数为：
所以用乙组法码称重时，所用的平均砝码数最少.
2． 假定X 是连续随机变量，x 是对X 的（一次）观测值. 关于总体密度函数f （x ）有如下两个假设：
检验的判断规则是：若
则拒绝原假设
试求检验犯两类错误的概率.
【答案】由所给条件，犯第一类错误的概率为
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犯第二类错误的概率为
这个检验犯两类错误的概率都不小，不是一个好的检验，主要原因是样本量太小.
3． 在一个有n 个人参加的晚会上, 每个人带了一件礼物, 且假定各人带的礼物都不相同. 晚会期间各人从放在一起的n 件礼物中随机抽取一件, 试求抽中自己礼品的人数X 的均值和方差.
【答案】记
则由此得
又因为但因为
间不独立, 所以
为计算所以
因此
由此得
4． 设差. 求k , 使得
是来自正态分布
所以
即
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是同分布的, 但不独立. 其共同分布为
所以
先给出的分布列, 注意到的可能取值为0, 1. 且
）的一个样本, 与分别是样本均值与样本方
【答案】在正态总体下, 总有
故
是自由度是n_l的t 分布t （n —1）的0.05分位数, 即
从而
如今n=17,
查表知
5． 求下列分布函数的特征函数, 并由特征函数求其数学期望和方差.
（1）（2）
【答案】（1
）因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为
又因为
所以
（2）因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为又因为当t>0时, 有
所以当而当又因为
时, 有时, 有
所以
在t=0处不可导, 故此分布（柯西分布）的数学期望不存在.
6． 在某保险种类中，一次关于2008年的索赔数额（单位：元）的随机抽样为（按升序排列）：
己知2007年的索赔数额的中位数为5063元. 是否2008年索赔的中位数比前一年有所变化？请用双边符号检验方法检验，求检验的p 值，并写出结论.
【答案】
原假设
检验的P 值为
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备择假设
作差
得到检验统计量值为