2017年合肥工业大学数学学院808高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 球面
【答案】
与平面
的交线在yOz 平面上的投影方程为_____。
【解析】所有在yOz 平面上的投影方程可以看做是平面x=0与一个方程中不含x 的一个曲面相交所得的图形。在本题中，具体做法是将已知球面和已知平面联立，消除x ，得到的方程与x=0联立，即为所求的投影方程。
又平面方程为x+z=1，则x=1-z，代入球面方程
故所求投影方程为
2． 由曲线
【答案】
和直线
及
在第一象限中所围平面图形的面积为_____。
，得
，先求出A 、B 点坐标。
【解析】所围成图形如右图所示（阴影部分）
则
3．
设函数f 是可导函数，
【答案】
由方程
，则
_____。
所确定，且，其中
【解析】在方程两边分别对X 求导得
又
故
解得 4． 将
【答案】
【解析】积分域如下图所示，则
化为极坐标下的二次积分为_____。
。
图
5．
【答案】
_____。
【解析】交换积分次序，得
6． 与积分方程
【答案】注：1°方程
等价的微分方程初值问题是_____。
的积分上限x 是积分方程的变量，它是与y 相对应的；而积分表达
式中f （x , y ）dx 中的x 是积分变量，不能将它与积分上限相混淆，
故积分方程应理解为
2
°由于积分方程
后，有恒等式然，当
时，
确定了隐函数
因此积分方程中的y 取
即
显
于是上式两端对x 求导，就得
即
7． 设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S ，都有
其中f （x ）在【答案】1
【解析】由于所给曲面积分的被积函数具有连续偏导数，由高斯公式得
其中
为S 所围成的空间区域，当s 取外侧面时，上述三重积分前取“+”号；当S 取内侧
为连续函数，且对任意的
。因此，当x>0
内具有连续的一阶导数，则
=_____。
面时，上述三重积分前取“-”号。
由于曲面S 任意，因此空间区域也为任意，根据“若空间区域都有时，有
8． 函数
。
在点_____。
处沿球面
在该
，则
。可知
点的外法线方向的方向导数
【答案】
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