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一、分析计算题

1． 设A ，B 均为n 阶方阵，证明：

【答案】

2． 构造一个3阶实对称阵A ，使其

特征值为

【答案】设属于特征值-1的特征向量为个特征向量正交，此即

由此可解得对应于特征值-1的特征向量为

将这些特征向量正交化得

再单位化得

并且对应特征值1有特征向

量因为A 是实对称阵，所以必与已知两

令则

故

3． 设m ，n 为自然数，证明：

【答案】（I ）记所以

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使

则存在

即

同理有

（II ）设由于所以

而

结合式（1）、式（2）可得由（I ）、（II ）可知.

4． 设R 是实数域，

（1）证明函数（2）任意给定【答案】（1）设

是闭区间

上的实连续可微函数的集合，V 在函数的加法在V 中线性无关.

在V 中找到n+1个线性无关的向量，并证明你的结论.

两边求导得方程组

令式得线性方程组

解得（2）对于设

线性无关.

由多项式的性质知

是V 中

个线性无关的向量.

使

的一个公因式，即

和数乘函数的运算下是一个向量空间.

（3）对某个m ，是否有V 和R 同构，如果是给出证明，如果不是，说明理由.

（3）由（2）知V 是无限维向量空间，而是有限维向量空间，有限维向量空间不能与无限维向量空间同构. 否则V 将与自己的有限维真子空间同构，这是不可能的.

5． 判别下列多项式有无重因式：

（1）（2）【答案】⑴

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因为

所以 6． 设

为数域K 内的n 个互异数，证明：①以下的n 个多项式是n 维空间

②当K 为复数域且取阵.

【答案】①显然只证令得

同理得②由于

线性无关，为一基.

为全体n 次单位根，故

由此得由基

到基

的过渡矩阵为C （C 的第i 列元素为

7． 用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩：

（1）

（2）

【答案】（1）作下列矩阵A , 把

分别排为它的1, 2, 3, 4列，

代入上式，由于

线性无关即可，设有K 中数

互异，故

而

使

从而由（4）

为全体n 次单位根时，求由基

到基

的过渡矩的一基：

有3重因式

（2）没有重因式.

对它作初等行变换化成阶梯形

.

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