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一、计算题

1． 把对坐标的曲面积分

化成对面积的曲面积分，其中： （1）是平面（2）是抛物面【答案】（1）由于

在第一卦限的部分的上侧； 在xOy 面上方的部分的上侧。

取上侧，故在任一点处的单位法向量为

于是

（2）由于

取上侧，故在其上任一点

于是

2． 假设质点沿x 轴运动的迷度为

【答案】质点运动的加速度为

3． 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（如图所示）。问留下的扇形的中心

角取多大时, 做成的漏斗的容积最大?

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处的单位法向量为

，试求质点运动的加迷度。

【答案】如图, 设漏斗的高为h , 顶面的圆半径为r , 则漏斗的容积为故

令当

, 得

时,

, 故V 在

内单调增加; 当

为极大值点, 又驻点惟一, 从而时, 做成的漏斗的容积最大。

时,

, 故V 在

, 又

内单调减少。因此

也是最大值点, 即当

取

图

4． 求锥面

【答案】

由

（图）

被柱面

解

得

所割下部分的曲面面积。

，故曲面在xOy 面上的投影区

域

图

被割曲面的方程为

于是所求曲面的面积为

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5． 将下列函数展开成x 的幂级数：

【答案】（1）因

故

（2）因

而

故

6． 汽车以20m/s的速度行驶, 刹车后匀减速行驶了50m 停住, 求刹车加速度。可执行下列步骤:

（l ）求微分方程（2）求使（3）求使【答案】由

, 得

, 故

由（2）令

, 得

, 于是所求的解为, 解得

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而

, 满足条件

的t 值; 的k 值。

的解;