2017年青岛理工大学理学院816高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1．
设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于-1
则当（ ）时，此时二次型为正定二
所以f 为正定的.
2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
则线性方程组（ ）•
【答案】D 【解析】
3． 设A 是
矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（A. 如果则. 有非零解
B. 如果秩
则
有非零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则有惟一解 D. 如果A 有n 阶子式不为零，则只有零解
【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
4． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B. C.-1
D.
【答案】B 【解析】
故
但当a=l时，
5． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0
的根的个数为（ ） A.1
）.
B.2 C.3 D.4 【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
二、分析计算题
6． 证明：
【
答
由此得反之设于是
故
7． 矩阵
阵，求J ，T 和
可得A 的线性无关的特征向量为
即它的几何重数为2, 代数重数为3, 所以A 不能与对角阵相似，且A 的Jardan
标准形为当
时，由
其中J 是A 的标准形，T 是变换矩
从而
_
案
】
设
则
存
在
的三个特征值分别为1, 1，1, 试将A 表示成. 【答案】由假设知
令则由
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