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一、选择题

1． 设n （n ≥3）阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1

B. C.-1

D.

【答案】B 【解析】

故

但当a=l时，

2． 设向量组

线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（

【答案】C 【解析】方法1:令

则有

由

线性无关知，

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）

该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于

从而

线性无关，且

线性无关.

因为所以向量组线性无关.

3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D

【解析】

5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

.

则

也不是线性变换，

比如给

D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

二、分析计算题

6． 设V 是n 维线性空间

（1）证明：（2）证明：

X 和Y 为V 的两个子空间，并且

当且仅当Y 是X 的子空间。

（3）举例说明：存在满足题设条件的线性空间V 及其子空间X 和Y , 使得

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【答案】（1）由维数公式得

又因为

所以有

从而

（2）由（1

）知

所以显见（3）取又令则有且

7． 设A 是三级正交矩阵并且

（1）1是A 的一个特征值. （2）A 的特征多项式阵.

【答案】⑴

故得出

所

以

是

所以1是A 的一个特征值；

为

即

而

不是A 的特征值，

而根据（1）

的解，故解得a+b=0，所以

（2）根据哈密尔顿一卡莱定理得到A 的特征多项式（3）因为A 是三级正交矩阵，故

1是A 的特征多项式

，

即

所以

8． 设线性空间V 中的向量组

（1）试问：向量组（2）求向量组【答案】（1）令

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的充要条件是

的充要条件是

命题得证。

则有

求证： 可表示为

则A 的转置

考虑到

且

等价于

V 为3维几何空间

其中a 是某个实数.

其中E 是3级单位矩

（3）若A 的特征值全为实数并且

的解，代入得到a=3，所以A 的特征多项

式

线性无关.

是否线性无关？要求说明理由.

生成的线性空间W 的一个基以及W 的维数.

那么