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一、计算题

1． 如图所示质量m=2kg的均质圆盘无初速地从高度h=1m自由下落，碰到一个固定尖角上，若圆盘半径r=20cm，距离a=8cm，设碰撞时的恢复因数k=0.8, 假设接触时没有滑动. 求碰撞后圆盘的角速度和质心的速度，以及碰撞前后机械能的损失

.

图

【答案】由动能定理求出碰撞前质心的速度:

设碰撞后质心的速度

并分别沿碰撞点切线与公法线进行分解. 碰撞前后圆盘的运动分析与

略去非碰撞力后的冲量分析如图（b ）所示.

由刚体平面运动碰撞动力学方程，有

由接触时无滑动，得运动学关系:

由恢复因数定义得

联立式①、②、③，可解得:

将

代人上式，得:

式中负号表示假设方向相反. 而碰撞后圆盘的角速度为:

又

因此，碰撞后圆盘质心的速度为:

碰撞前的动能:

碰撞后的动能:

因此，碰撞过程的能量损失为:

2． 车轮上装置一质量为m 的物块B , 在某瞬时（t=0）车轮由水平路面进入曲线路面, 并继续以等速v 行驶. 该曲线路面按

的规律起伏, 坐标原点和坐标系

的位置如图1所示.

设弹簧的刚度系数为k. 求:（1）物块B 的受迫运动方程；（2）轮A 的临界速度

.

图1

【答案】

图2

（1）设车身坐标为y , 车身处于静平衡时位置为原点, 根据牛顿定律列出运动方程:

将

代入上式得:

物块受迫振动方程为:

（2）由共振条件

可得轮A 的临界速度为:

3． 图1所示均质曲杆ABCD , 刚性地连接于铅垂转轴上, 已知CO=OB=b.转轴以匀角速度转动, 欲使AB 及CD 段截面只受沿杆的轴向力, 求AB , CD 段的曲线方程

.

图1

【答案】建立图2所示坐标系, 取CD 上的微元为研究对象, 作出其所受的主动力、约束反力和惯性力

.

图2

由平衡方程其中惯性力

所以

又因为

所以

可得