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一、计算题

1． 质点M 的质量为m , 被限制在旋转容器内沿光滑的经线几何轴

以角速度匀速转动. 求质点M 相对静止时的位置

.

运动, 如图1所示. 旋转容器绕其

图1

【答案】在容器上建立动坐标系, 动系做匀角速度转动, 当质点M 相对静止时, 所以示

.

设此时质点所受容器支持力与竖直方向夹角为

质点距转轴r , 质点受力分析如图2所

图2

得非惯性系动力学方程:分别沿水平和竖直方向分解得:

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其中, 解得:

2． 不计自重的拉门与上下滑道之间的静摩擦因数均为门高为h 。若在门上处用水平力F

拉门而不会卡住, 求门宽b 的最小值。问门的自重对不被卡住的门宽最小值是否有影响？

图1

【答案】以门为研究对象, 受力如图2所示。

图2

由平衡方程

得

其中, 解得所以

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, 即门重与最小宽度无关。

3． 如图1所示, 一小球的质量为m , 紧系在完全弹性的线AB 的中部, 线长21. 设线完全拉紧时张力的大小为F , 当球作水平运动时, 张力不变. 重力忽略不计. 试证明小球在水平线上的微幅振动为谐振动, 并求其周期

.

图1

【答案】

图2

取小球为研究对象, 受力分析如图2所示, 其平衡位置为坐标原点, 则小球的运动微分方程是:

又微幅振动条件下:

则运动微分方程可化为:

即为简谐振动的微分方程. 所以小球运动周期为:

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