2018年长春理工大学理学院801量子力学考研基础五套测试题
● 摘要
一、简答题
1． 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？
【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。
2． 完全描述电子运动的旋量波函数为
分别表示什么样的物理意义。
【答案
】
表示电子自旋向
下
表示电子自旋向上
的几率。
位置
在
处的几率密度
；
试述
及
二、计算题
3． 设质量为m 的粒子处于势场的本征波函数
也属于正幂次级数，故有定态方程
式中：
则I 式可以化为：令
上方程可化简为
式解得
则
中，K 为非零常数. 在动量表象中求与能量E 对应
【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而
其中C 为归一化常数。
4． （1）写出全同粒子体系的态所满足的交换对称性以及随时间演化的动力学方程； （2）考虑由2
个全同费米子（
表示出体系可能的状态。
【答案】（1）全同粒子系的波函数
：随时间演化的动力学方程
：
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）组成的体系，
设可能的单粒子态为
对称性波函数
；
试用
反对称性波函数。其
（2）用表示出体系可能的状态如下：
5． 某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种
：
（1）无自旋全同粒子。 （2）自旋
的全同粒子（例如电子）。
【答案】（1） s=0, 为玻色子，体系波函数应交换对称。
有如下六种：
（2）
单粒子态共有如下六种：
任取两个，可构成体系（交换）反对称态，如：
体系态共有或者，
从
种，即十五种。
三种轨道态任取两个，则可以构成一种轨道对称
态
及一种反对称态
态，共三种。 后者应与自旋三重态但轨道对称态还有3+3+9=15种。
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试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。
前者应与自旋单态相乘，而构成体系反对称
相乘而构成体系反对称态，共3×3 = 9种。
型，共三种型，各与自旋单态配合，共三种体系态，故体系态共
三、综合分析题
6．
【答案】
是粒子在动量表象中的波函数，试求
7． —量子系统某一个定态的跃迁几率为：
其中，
是系统从
能级跃迁到
能级的玻尔频率，
其中
，[已知系统能量本征值
和相应的本征函数
假设系统在t=0时刻处于
跃迁到
式中
是一实常数。
并开始引入一个微弱的外场试证明系统在外场的作用下从定态
【答案】体系的哈密顿算符为系统的薛定谔方程为：
令方程
的解为：
将
代入得：
上式两边左乘
并积分，利用正交性，并令
其中，
跃迁到
的几率为
欲求
于是有：
系统在微扰作用下，
由能级设微扰在
似情况下，将上式的
解得一级近似解为：
则需解方程
时开始引入，即系统的初始条件为
作为
在只考虑一级近似而略去二级以上近
代入式，于是可得：
分步积分得：
上式右边第一项代表微扰加入后定态的变化，第二项决定了微扰加入过程引起的跃迁，于是，跃迁几率为：
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