2018年长春理工大学理学院801量子力学考研核心题库
● 摘要
一、简答题
1． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？
【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.
2． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】
二、计算题
3． 一质量为m 的粒子，可在宽为a 无限深势阱当中自由运动. 在t=0的初始时刻其波函数为
其中A 为实常数. （1）求A 使平均值？
（3）求t 时刻的波函数
满足归一化条件.
（2）如果进行能量测量，则能得到哪些能量值? 相应取这些能量值的概率又是多少? 再计算能量的
【答案】（1）无限深方势阱中粒子的本征波函数为初始时刻波函数可化为
由归一化条件有
（2）无限深方势阱中粒子的本征能量为
解得
.
故粒子可能测得能量即
测得能量的平均值为（3） t 时刻波函数为
4． 在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。 【答案】在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为：在动量表象中，该哈密顿算符为：
由于动量的本征函数为
故哈密顿算符的矩阵元为：
5． 设粒子从
入射，进入一维阶跃势场：当x ＜0时，如果粒子能量
试
而当x ＞0时
，
（1）写出波动方程式并求解； （2）求透射系数；
（3）求反射系数并求与透射系数之和. 【答案】（1）粒子波动方程为
令
则方程的解为
其中第一部分为入射波，第二部分为反射波.
此即透射波函数.
由波函数连续及波函数导数连续有
解得
则波函数为其中
（2）由概率流密度公式入射波函数概率流密度为
：反射波函数概率流密度为
：透射波函数概率流密度为
：透射系数即（3）反射系数即显然R+T=l.
可知
三、综合分析题
6． 试求质量为m 的粒子处在长度为L 的一维盒子（可看成是无限深势阱）中，试求他对盒子壁的压力。
【答案】设粒子处于第n 个本征态
本征能量
7． 粒子受到势能为
【答案】用玻恩近似计算如下：
因此粒子对盒壁的压力：
的场散射
，用玻恩近似计算微分散射截面。