2018年对外经济贸易大学金融学院396经济类联考综合能力[专业学位]之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
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即满足AB=£；
的所有矩阵为其中为任意常数.
2． 已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ）求
【答案】
当a=-1及a=0
时，
方程组均有无穷多解。 当a=-l
时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意
. 线性无关，可作为三个不同特征
的基础解系.
有无穷多解，
矩阵
A
的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
（Ⅱ）
3． 设
为三维单位列向量，
并且
记
证明
：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A 相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
故A 有零特征值
知的基础解系，即为
的特征向量
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
的非零解即为对应的特征
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向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
4．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
则
即A
相似于矩阵
线性无关，
列向量组线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
则
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
使得
线性无关；
向量组
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
所有非零解
_
t 为任
二、计算题
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