2017年南通大学数学学科基础综合之高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 函数
【答案】
因为所以
又因为
在
在
，
总有内无界。 ，总有
，使
，从而
，所
内是否有界？这个函数是否为
，
使
，
从而
时的无穷大? 为什么？
，
以不是当时的无穷大。
2． 两个无穷小的商是否一定是无穷小? 举例说明之.
【答案】不一定，例如，
不是当时的无穷小。
3． 验证形如程，并求其通解。
【答案】由又原方程改写
成
，可分离变量得
积分得
4． 求下列微分方程的通解
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
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与
都是当时的无穷小，但，却
的微分方程，可经变量代换v=xy化为可分离变量的方
即得 ，并
将
后，便是原方程的通解。
代入上式，
有
，代入
【答案】（1）原方程为两端积分得即
，故通解为
（2）原方程可写
成
。
（3）原方程
为
即为原方程的通解。
（4）原方程可写
成
，即
（5）原方程分离变量，
得
，可写成
为
（6）原方程分离变量，得可写成（7）原方程为
即
故原方程的通解为（8）原方程分离变量，得
即
故原方程的通解为（9）原方程分离变量，得
故原方程的通解为（10）原方程分离变量，得
或写成
，即
，分离变量得，
。 ，积分
得
，即通解
为
，分离变量
得，两端积分
得
，分离变量
得是原方程的通解。
，两端积分
，，即
，两端积分
；两端积
分
，
得
，故原方程的通解，得
，分离变量，得，
或写成
，两端积分，得
, 两端积分，得
，两端积分，得
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即
或写成
，故原方程的通解为
。
二、计算题
5． 化三重积分
（l ）由双曲抛物面（2）由曲面:（3）由曲面:（4）由曲面。
及平面及:
为三次积分，其中积分区域
分别是:
所围成的闭区域;
所围成的闭区域;
所围成的在第一卦限内的闭区域。
在
面上的投影区域由
及平面z=1所围成的闭区域;
【答案】（1）的顶z=xy和底面z=0的交线为x 轴和y 轴，故x 轴、y 轴和直线
因此
所围成。于是几可用不等式表示为
（2）
由
（图1）
和
得
，所
以
在
面上的投影区域
为
可用不等式表示为
因此
图1 图2
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