2017年首都师范大学概率论与数理统计应用数学数学与信息技术(一)之概率论与数理统计复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
求X 与Y 的相关系数.
【答案】先计算X 与Y 的期望、方差与协方差
.
最后可得X 与Y 的相关系数
2． 设随机变量Y 服从参数为λ=1的指数分布, 定义随机变量X 如下:
求
和
的联合分布列.
的联合分布列共有如下4种情况:
所以
的联合分布列为
表
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【答案】
3． 设随机变量（X , Y ）的联合分布列为
表
试求
【答案】由定义可知
的数学期望.
4． 设
和分别来自总体和的两个独立样本.
试求
的最大似然估计.
【答案】合样本的似然函数为
对数似然函数为
将对数似然函数对
分别求导并令其为0, 得
由此得到
的最大似然估计为
5． 对冷却到-0.72°C 的样品用A , B 两种测量方法测量其溶化到0°C 时的潜热，数据如下：
方法A :
方法B :
. ）
假设它们服从正态分布，方差相等，试检验：两种测量方法的平均性能是否相等？（取
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【答案】设两种方法测量的潜热分别记为X 和Y ,
并设
可用双样本t 检验，则检验的拒绝域为：
本题中，n=13, m=8，直接计算可得，
因此有
而
和
要检验
因此应拒绝原假设，即两种测量
方法的平均性能有显著性差异，检验的p 值为0.0036.
6． 为估计某台光谱仪测量材料中金属含量的测量误差，特置备了5个金属试块，其成分、金属含量、均匀性都有差别，设每个试块的测量值都服从正态分布，现对每个试块重复测量6次，计算得其样本标准差分别为间.
【答案】从题意可知，这里可以看作来自正态总体i=1, 2, …, 5，
由此可知
独立的，故有
从而
即
故的查表知
置信区间为
现算出
对
，
即
的容量为n=6的样本标准差，由于各试块的测量可认为相互
试求的0.95置信区
代入可算得的0.95置信区间为
7． 某工厂每月生产10000台液晶投影机, 但它的液晶片车间生产液晶片合格品率为80%, 为了以99.7%的可能性保证出厂的液晶投影机都能装上合格的液晶片, 试问该液晶片车间每月至少应该生产多少片液晶片？
【答案】设每月至少应该生产n 片液晶片, 其中合格品数记为X , 则有使下述概率不等式成立
利用二项分布的正态近似, 可得
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