2017年昆明理工大学F001高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 试说出下列各微分方程的阶数:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（l ）一阶; （2）二阶; （3）三阶; （4）一阶; （5）二阶:（6）一阶.
2． 镭的衰变有如下的规律:镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知，镭经过1 600年后，只余原始量R 0的一半. 试求镭的存量R 与时间t 的函数关系.
【答案】设在时刻t ，镭的存量为
，即
。
，将t=1600，
，代入上式，得
，即
，
，由题设条件知，
，即
，
积分得
R=R0，因t=0时，故C=R0，所以
。
3． 如果某国人口增长的速率为u （t ），那么
【答案】
表示什么？
表示该国在[T1，T 2]时间段内增加的人口总量。
4． 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
第 2 页，共 30 页
（9）（10）
【答案】对于两个函数构成的函数组，如果两函数的比为常数，则它们是线性相关的，否则就线性无关，因此本题中除了
（2）（3）（7）性无关。
即（2）（3）（7）中的函数组线性相关外，其余的7个函数组中两函数之比不是常数，从而线
二、计算题
5． 设函数f （u ）具有二阶连续导数，
则
，求f （u ）的表达式。
【答案】设
，则
，则
由条件对方程
，可知进行求解，其通解为
，其中
将初始条件
为任意常数 代入，可得
解得
6． 设反常积分
【答案】因为收敛，即
第 3 页，共 30 页
满足，
若
，故f （u ）的表达式为收敛。证明反常积数
，由于
绝对收敛。
绝对收敛。 收敛，
也收敛，因此
7． 设光滑曲线
过原点，且当时对应于且
一段曲线的弧长为
求
【答案】根据题设条件得
即
取
故
8． 求函数
【答案】因为因为
，
的图形的渐近线 积分得
在积分方程两端对x 求导，
得
由初始条件
知
，所以y=0是函数图形的水平渐近线。
所以
及
都是函数图形的铅直渐近线。
三、证明题
9． 设
，而
是由方程
所确定的函数，其中
都是具有一阶偏导数，试证明
【答案】解法一：由方程组分别在两个方程两端对X 求导可得
可确定两个一元隐函数。
移项得
当时，解方程组得
第 4 页，共 30 页