2017年兰州大学高等数学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 计算二重积分大整数。
【答案】将正方形区域D
用三条直线
。如图所示。
分成四个区域：
，其中
，
表示不超过
的最
即
故
2． 设函数f （x ）在区间[a, b]上连续，且f （x ）≥0，那么
【答案】
在几何上表示什么？
表示xOy 面上，由曲线y=f（x ）, x=a, x=b以及x 轴所围成的图形绕x
轴旋转一周而得到的旋转体的体积。
3． 质量为1g （克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成
2
反比，在t=10s时，速度等于50cm/s外力为4g ·cm/s，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多
少？
【答案】设在时刻t ，质点运动速度为v=v（t ）。据题设条件，
有m=1, t=10, v=50, f=4，
得
。
代入条件：t=10, v=50, 得c=500，于是有特解当t=60（s ）时，
4． 已知函数
满足微分方程
且
求y （x ）的极大值和极小值。这是一个可分离变量的一阶微分方C 为任意常数。由得
当x=1时，可解得当x=-1时，可解得
函数取得极大值函数取得极小值
且
得
可
即
知
，
，故有微分方
程
，分离变
量
，且由，积分
得
【答案】
把方程化为标准形式得到程，在两边分别积分可得方程通解为
令
二、计算题
5． 求图中各画斜线部分的面积：
【答案】（1）解方程组得到交点坐标为（0, 0）和（1, 1）。
如果取x 为积分变量，则z 的变化范围为[0, 1]，相应于[0, 1]上任一小区间[x，x+dx]的窄条面积近似于高为
、底为dx 的窄矩形的面积，因此有
如果取y 为积分变量，则y 的变化范围为[0, 1]，相应于[0, 1]上任一小区间[y，y+dy]的窄条面积近似于高为dy 、宽为y-y 的的窄矩形面积，因此有
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（2）取x 为积分变量，则易知x 的变化范围为[0，l]，相应于[0，l]上的任一小区间[x，x+dx]
x
的窄条面积 近似于高为e-e 、底为dx 的窄矩形的面积，因此有
如果取y 为积分变量，则易知y 的变化范围为[l，e]，相应于[l，e]上的任一小区间[y，y+dy]的窄条面积 近似于高为dy 宽为lny 的窄矩形的面积，因此有
（3）解方程组
得到交点坐标为（-3，-6）和（1，2）。
如果取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-3，l]，相应于[-3，1]上的任一小区间[x，x+dx]的
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窄条面积近 似于高为（3-x ）-2x=-x-2x+3、底为dx 的窄矩形的面积，因此有
如果用y 为积分变量，则y 的变化范围为[-6，3]，但是在[-6，2]上的任一小区间[y，y+dy]的窄条面积近 似于高为dy 、宽为
[y，y+dy]的窄条面积近似于高为dy 、宽为
从这里可看到本小题以x 为积分变量较容易做. 原因是本小题中的图形边界曲线，若分为上下
的窄矩形的面积，在[2，3]上的任一小区间
的窄矩形的面积，因此有