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一、计算题

1． 某种产品由20个相同部件连接而成, 每个部件的长度是均值为2mm 、标准差为0.02mm 的随机变量. 假如这20个部件的长度相互独立同分布, 且规定产品总长为（求该产品的不合格品率.

【答案】

记

为第i 个部件的长度,

则

, 可用林德伯格-莱维中心极限定理近似算得合格品率

所以不合格品率为0.0254.

2． —个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，其中有k 个白球，求罐子里黑球数和白球数之比R 的最大似然估计.

【答案】解法1 记P 为罐子中白球的比例，令Xi 表示第i 次有放回抽样所得的白球数，

则

，故p 的最大似然估计为

因为黑球数与白球数比值

根据最大似然估计的不变性，有

对具体的样本值即n 个抽到k 个白球来讲，R 的最大似然估计为从中有放回的抽一个球为白球的概率为

从罐中有放回的抽n 个球，可视为从二点分布

表

中抽取一个样本容量为n 的样本. 当样本中有k 个白球时，似然函数为

， 其对数似然函数为InL （R ）=（n-k ）lnR-nln （1+R）将对数似然函数对R 求导，并令其为0, 得似然方程

为总长度,

且）mm 时为合格品,

解法2 设罐子里有白球1个，则有黑球R1个，从而罐中共有（1+R）1个球.

解之可得所以

由于其对数似然函数的二阶导数为

是R 的最大似然估计.

譬如，在n=10, k=2场合，R 的最大似然估计即罐中黑球数与白球数之比的最大

似然估计为4, 若白球1个，黑球为4个；或者白球2个，黑球为8个等.

3． 某厂有四条生产线生产同一种垫片，为了比较它们的断裂强度有无显著差异，特从每条生产线上随机抽取5个垫片，测其断裂强度，数据列于下表：

表

1

试在正态分布假设下比较四条生产线上产品的断裂强度. 若有显著差异，再作多重比较（取

）.

【答案】为了便于计算，把个数据

均减去85，得下表

表

2

利用上表中的数据可算得各平方和

把这些平方和移入如下得方差分析表，继续计算

表

3

对给定的显著性水平

可查表得由于

故因子A 显

著，即四条生产线上的垫片断裂强度均值间有显著差异. 其平均断裂强度估计值分别为

为了进一步指出哪些生产线上的垫片断裂强度间有显著差异，需要用T 法作多重比较. 对显著

性水平0.05，其临界值c 为

其

中由附表查得. 把c 与诸差

值相比较，只

有

其他差值均小于4.47，由此可见，只在第1条和第4条生产线上生产的垫

片的平均断裂强度上有显著差异. 断裂强度是愈大愈好，所以第4条生产线上垫片质量最高，第1条生产线质量最差，故应注意改进第1条生产线，提高其垫片的断裂强度.

4． 从数字0, 1, …, n 中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望.

【答案】记X 与Y 分别为第1次和第2次取出的数字, 则

所以

5． 已知随机变量X 的密度函数为

试求随机变量Y=g（X ）的概率分布，其中

【答案】因为p （x ）为偶函数，所以可得所以Y 的分布列为

表

6 设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布, 平均需要10分钟, 且各件产品的组装时间是．

相互独立的.

（1）试求组装100件产品需要15小时至20小时的概率；

（2）保证有95%的可能性, 问16小时内最多可以组装多少件产品？ 【答案】记

为组装第i 件产品的时间（单位:分钟）, 则由

由此得

, 知