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一、计算题

1． 一地质学家为研宄密歇根湖的湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数. 假设这100次观察相互独立，求这地区石子中石灰石的比例P 的最大似然估计. 该地质学家所得的数据如下表：

表

【答案】本题中，总体X 为样品中石灰石的个数，且X 服从参数为（10, P ）的二项分布，即

为样本，则其似然函数为（忽略常数）

对数似然函数为

将对数似然函数关于P 求导并令其为0得到似然方程

解之得

由于

由二阶导数的性质知，P 的最大似然估计为

2． 某公司对其250名职工上班所需时间进行了调查, 下面是其不完整的频率分布表:

表

（1）试将频率分布表补充完整；

（2）该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？ 【答案】（1）由于频率和为1, 故空缺的频率为

（2）该公司上班所需时间在半小时以内的人所占频率为

该公司有职工

250人, 故该公司上班所需时间在半小时以内的人有人.

3． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试求X 的前四阶原点矩、中心矩、偏度与峰度.

【答案】分几步进行.

（1）先求k 阶原点矩的递推公式. 按定义

显然

而当

时有

（2）由此递推公式可导出前四阶原点矩

.

（3）再计算前四阶中心矩；

（4）最后计算偏度卢；与峰度卢。

所以泊松分布是正偏分布，愈小偏度愈大.

所以泊松分布比标准正态分布更尖峭一些，A 愈小分布愈尖峭.

4． 假定考生成绩服从正态分布，在某地一次数学统考中，随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？

【答案】本题是关于正态总体均值的假设检验问题，由于总体方差未知，故用t 检验法，欲检验的一对假设为：

拒绝域为由已知条件因为著差异.

注：这里没给出容量为36的样本数据，只给出样本均值与样本标准差s. 由于与s 是正态分布

的充分统计量，而充分统计量是不会失落样本中的有用信息，故给出与s 的值，等价

于给出具体的样本数据. 这一现象会在很多场合里出现.

5． 为了研究本厂产品垫片与国内外同类产品在耐磨性能上的差别，特选国外一家产品、国内两家产品与本厂产品进行磨损试验，其试验数据用磨损率表示，它是愈小愈好. 磨损率的计算公式是

具体数据如下表所示：

表

1

当显著性水平为0.05时，

s=15, 故检验统计量的值为

故接受原假设，可以认为这次考试全体考生的平均成绩与70分无显

试在正态分布假设下对比四家同类产品的磨损率均值有无显著差异，若有显著差异，再作多重比较（取

）.

【答案】首先计算各平方和