2017年浙江财经大学综合考试(线性代数、数理统计)之工程数学—线性代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 设A , B 都是正交阵，证明AB 也是正交阵.
【答案】方法一、由定义，知AB 为正交阵.
方法二、因A , B 为正交阵，故A ，B 均可逆，且
，从而AB 是正交阵.
2． 设
证明A 的特征值只能取1或2.
是
的特征值. 但是，零矩阵只有特征值
于是AB 可逆，且有
【答案】设A 是A 的特征值，则
0, 故则A=1或A=2.
3． 用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
4． 设x 为n 维列向量.
【答案】对称性：正交性：
5． 下列矩阵是不是正交矩阵? 并说明理由：
令证明H 是对称的正交阵.
【答案】（1）不是，因第1个列向量不是单位向量；
（2）是，因为此矩阵的3个列向量构成规范正交基，即它们两两正交，并且都是单位向量.
6． 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
（1）1 2 3 4；
（2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （4）2 4 1 3；
（5）1 3... （2n-1） 2 4 ... （2n ）； （6）1 3... （2n-1） （2n ） （2n-2）... 2. 【答案】（1）此排列为自然排列，其逆序数为0;
（2）此排列的首位元素的逆序数为0; 第2位元素1的逆序数为1; 第3位元素3的逆序数为1; 末位元素2的逆序数为2, 故它的逆序数为0+1+1+2=4;
（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0; 第3位元素2的逆序数为2; 末位元素1的逆序数为3, 故它的逆序数为0+0+2+3=5;
（4）类似于上面，此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0, 0, 2, 1，故它的逆序数为0+0+2+1=3;
（5）注意到这2n 个数的排列中，前n 位元素之间没有逆序对. 第n+l位元素2与它前面的n-l 个数构成逆序对，故它的逆序数为n-l :同理，第n+2倍元素4的逆序数为n-2;; 末位元素2n 的逆序数为0. 故此排列的逆序数为
（6）与（5）相仿，此排列的前n+1位元素没有逆序对；第n+2位元素（2n-2）的逆序数为2; 第n+3位元素2n-4与它前面的2n-3，2n-l , 2n ，2n-2构成逆序对，故它的逆序为4; …；末位元素2的逆序数为2（n-l ）, 故此排列的逆序数为2+4+…+2（n-1）=n（n-l ）.
7． 设有向量组A
:
（1）向量B 不能由向量组A 线性表示；
（2）向量B 能由向量组A 线性表示，且表示式惟一；
（3）向量B 能由向量组A 线性表示，且表示式不惟一，并求一般表示式. 【答案】记矩阵
，那么方程AX=B（1）有解
可由向量组A 线性表示，
（1）当方程（1）的系数行列式
方程（1）有惟一解，从而向量B 能由向量组A 线性表示，且表示式惟一； （2）当a=-4时，增广矩阵
及向量
问
为何值时
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