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一、计算题

1． 一矩形波如图所示，将此函数用勒让德（傅里叶）级数表示

试求系数

。

图

【答案】f （t ）可近似表示为

由于前五项勒让德多项式为

所以

故

2． 一线性非时变因果系统可用二阶常系数微分方程来表示，且已知

（1）系统函数H （s ）的极点p=-2和零点Z=2; （2）若输入e （t ）=l，则零状态响应r （t ）=-2; （3）系统冲激响应

的初始值为2，且不含冲激。试求该系统的微分方程。

【答案】按照题意，该系统可用二阶常系数微分方程表示，所以H （s ）为一有理分式。根据系统为二阶和已知零极点位置可设

式中，q （s ）为s 的多项式，p 为待定极点位置。由于输入e （t ）=l时，输出r （t ）=-2，可以写出

于是

即

利用拉氏变换初值定理

在上述极限式中，若分子阶次比分母高时则极限发散，分子阶次比分母低时则极限为零。本例分子阶次与分母阶次只有相同时，极限为有限的非零值，所以q （s ）必为常数k ，于是

因此

故

因此可得表示该系统的微分方程为

3． 确定下列信号的奇分量和偶分量。

【答案】已知函数公式，求奇、偶分量的计算公式为

4． 滤波器的零状态响应y （t ）和输入信号x （t ）的关系为

（1）试分别画出该滤波器的幅频特性（2）试证明输出信号

和相频特性

曲线;

。

与输入信号x （t ）的能量相等。

，对比可得：

，利用对称性

得

，即

：

【答案】（l ）由题意，可得:而已知条件由变换对

所以幅频特性和相频特性分别如图1（a ）、（b ）所示。