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一、综合题（计算、解答、证明）

1． 如图所示系统为一梳状滤波器结构，求： （1）该滤波器的差分方程； （2）系统的单位脉冲响应；

（3）系统的幅频和相频响应系统是否具有线性相位特性？ （4）判断该系统是

还是

系统？

图

【答案】（1）由图可知：

故差分方程为：

（2）系统函数为：

所以单位脉冲响应：

（3）幅频响应为：

所以系统的幅频和相频响应系统具有线性相位特性

（4）由上可知该系统是F1R 系统。

2． 利用窗函数（哈明窗）法设计一数字微分器，逼近如图所示的理想微分器特性，并绘出其幅频特性。

图

【答案】（1）由于连续信号存在微分，而时域离散信号和数字信号的微分不存在，因而本题要求设计的数字微分器是指用数字滤波器近似实现模拟微分器，即用数字差分滤波器近似模拟微分器。

下面先推导理想差分器的频率 响应函数。

设模拟微分器的输入和输出分别为x （t ）和y （t ），即

令

则

对上式两边采样（时域离散化），得到

其中

将

和

分别作为数字微分器的输入和输出序列，并用

表示数字理

想微分器的频率响应函数，则

即

根据图所给出的理想特性可知

所以应取取群延时

所以

则逼近频率响应函数应为

设FIR 滤波器

长度为N ，一般取

加窗后得到

我们知道，微分器的幅度响应随频率增大线性上升，当频率式中第一项为0, 所以

时达到最大值，所以只有N 为偶

上

数的情况4才能满足全频带微分器的时域和频域要求。因为N 是偶数，

式就是用窗函数法设计的FIR 数字微分器的单位脉冲响应的通用表达式，

且具有奇对称特性

选定滤波器长度N 和窗函数类型，就可以直接按式得到设计结果。当然，

也可以用频率采样法和等波纹最佳逼近法设计。 本题要求的哈明窗函数：

将

式代入

式得到

的表达式：

（2）对3种不同的长度N=20, 40和41，用MATLAB 计算单位脉冲响应h （n ）和幅频特性函数，并绘图的程序

如下：

程序运行结果即数字微分器的单位脉冲响应和幅频特性函数曲线如图所示。由图可见，当滤波器长度N 为偶数时，逼近效果好。但N=奇数时（本程序中N=41），逼近误差很大。这一结论与教材给出的理论一致（对第二类线性相位滤波器，N=奇数时不能实现高通滤波特性）。