2018年中国农业大学植物保护学院701数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、选择题
1．
设
A.A=1时，B 的秩必为2 B.A=1时，B 的秩必为
1
时，B 的秩必为1
时，B 的秩必为2
【答案】C
【解析】当A=1时，
易见秩当
时，由于
知
那么当
时
是
B 是4X2的非零矩阵，且AB=0，则（ ）。
由于AB=0, A是3X4矩阵，
有
4×2矩阵，所以B 的秩可能为1也可能为2;
当时，r （A ） =3,
所以必有
2． 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（ ）。
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A 项是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化
B 项是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以
矩阵必可以相似对角化.
C 项是秩为1的矩阵，
由
知齐次方程组
知矩阵的特征值是4, 0, 0.
对于二重根
由秩
的基础解系有3_1=2个线性无关的解向量，
即
由
有两个线性无关的特征向量. 从而矩阵必可以相似对角化.
D 项是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，_1就是矩阵的特征值，对于二重特征值秩
齐次方程组
只有3-2=1个线性无关的解，
亦即
只有一个线性无关的特征向
量，故矩阵必不能相似对角化.
3．
设
A.m B.-8m C.2m D.-2m 【答案】D 【解析】
且
则
（ ）。
或将行列式行列式
4．
已知
A.3 B.2 C.1
D.1 或3 【答案】D
【解析】A 是4阶矩阵，那么由伴随矩阵秩的公式
的第一列加到第二列上，再将二、三列互换，之后第一列乘以2就可以得到
由行列式的性质知
是A 的伴随矩阵，若则A=（ ）。
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可见
对矩阵A 作初等变换，有
若则秩
若则秩
若
则
秩
所以时均有
5． 设A 为四阶实对称矩阵，且
若A 的秩为3, 则A 相似于（A.
B.
C.
D.
【答案】D
）。